Matematica

2ª Parte: Diferenciação Parcial

Dada as funções:

a) f(x, y) = x2 + y2
b) f(x, y) = y2 + 3x

determinaremos a: e

Passando o limite das funções quando h  0 obteremos a taxa de variação instantânea.
1o) lim 2x + h = 2x

2o) lim 2y + h = 2y

2.1. Derivada Parcial de Função de Várias variáveis Definição 1: Se f é uma função de duas variáveis, então as derivadas parciais primeiras de f em relação a x e a y são as funções fx e fy definidas como segue :

fx (x,y) = lim e fy (x,y) = lim desde que existam os limites.

Outras notações usuais para derivadas: e
Exemplo 1 : Dada a função: f(x, y) = 3x2 - 2xy + y2, encontre fx e fy , aplicando a definição.

Exemplo 2: Para a função do f do Exemplo 1, encontre fx (3,-2) e f (3,-2)

Interpretações geométricas de derivadas parciais de uma função de duas variáveis são análogas àquelas de funções de uma variável.

Então as derivadas são as declividades da rota tangente à curva dada.

Exemplo 3: De acordo com a lei do gás ideal para um gás confinado, se P Newton por unidade quadrada é a pressão, V unidades cúbicas é o volume, e T graus a temperatura, temos a fórmula
PV = KT onde K é uma constante de proporcionalidade.

Supondo que o volume de gás em um certo recipiente seja 100 cm3 e a temperatura seja 90° e K = 8.

a) Encontre a taxa de variação instantânea de F por unidade de variação em T se V permanecer fixo em 100;
b) Use o resultado da parte (a) para aproximar a variação de pressão se a temperatura aumentar para 92°C.
c) Encontre a taxa de variação instantânea de V por unidade de variação em P se T permanecer fixo em 90°.
d) Suponha que a temperatura permaneça constante. Use o resultado da parte (c) para encontrar a variação aproximada no volume para produzir a mesma variação na pressão, obtida na parte (b).

LISTA 1

A) Determine as derivadas parciais de f.
a) f(x, y) = 2x4y3 - xy2 + 3y + 1