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14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Retas, Planos e Distâncias
* Da Lista de exercícios de Álgebra 1 – Retas, Planos e Distâncias (UDESC-CCT-JOINVILLE); * Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.

Lista: exercício 4. V x + y + z@ 2 = 0 Dada a reta r: como interseção de dois planos, obter a sua equação simétrica. x + 3y @ z @ 2 = 0 Solução: Esta não é a única solução, porém é uma das mais fáceis. Para resolver precisamos de conhecimentos sobre planos e retas. 1 – A reta r é dada na forma de interseção, portanto resolvemos o sistema para encontrar a equação da reta ou o ponto, neste caso faremos para o ponto. 2 – Olhe para as equações da reta r, e veja que se fizermos x = 2 , as equações serão simplificadas. r:
V

x + y + z@ 2 = 0 x + 3y @ z @ 2 = 0 Q fazendo x = 2 e somando as equações:

2 + y + z @ 2 + 2 + 3y @ z @ 2 = 0 y + z + 3y @ z = 0 4y = 0 [ y = 0 agora substituimos y = 0 na equação e encontramos z também igual à zero quando x = 2 : z=0 [ y=z Essas coordenadas encontradas são um ponto da reta interseção dos planos, portanto P=(2,0,0). Agora só precisamos encontrar o vetor, há várias maneiras, uma delas é o produto vetorial dos vetores normais dos planos dados, e são facilmente encontrados, conhecendo-se a equação geral do plano: ax + by + cz @ ax1 @ by1 @ cz1 = 0 x + y + z@2 =0 então para r: x + 3y @ z @ 2 = 0
V
b c b c j k j j j j k j j j os vetores são j 1,1,1 e j 1,3, @ 1 vj vj 1 2

b

c

j j k k j j j j j j j Fazendo o produto vetorial j B j : vj vj 1 2

L L Li L L L1 L L1

j 1 3

M kM M M 1M = M M @ 1M

d

1 B @ 1 @ 3 B 1, @ 1 B @ 1 @ 1 B 1 ,1 B 3 @ 1 B 1 = @ 4,2,2
` a ` a

e este é o vetor simultaneamente ortogonal aos dois planos dados, portanto é o normal de um outro plano que contém o ponto P = 2,0,0 ! b c

b

c

e b

c

Substituindo na equação geral do plano:
@ 4x + 2y + 2z @ @ 4 2 @ 2 0 @ 2 0 = 0 @ 4x + 2y + 2z + 8 = 0
` a b c j k j j j @ 2x + y +