Matematica

Continuidade
Maria do Carmo Martins

Outubro de 2006

Fun¸˜o cont´ ca ınua num ponto

Sejam f : X → R, a ∈ X e a ∈ X . Diz-se que f ´ cont´ e ınua no ponto a se, e s´ se, o lim f (x) = f (a) x→a (qualquer que seja o n´mero positivo existir δ > 0, tal que, u sempre que x seja um ponto de X e verifique a condi¸˜o ca |x − a| < δ, se tenha |f (x) − f (a)| < ).
Assim,
lim f (x) = f (a) ⇔

x→a

⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ X : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| <

Observa¸˜es co 1

S´ faz sentido falar em continuidade de uma fun¸˜o num o ca ponto x = a, quando a ∈ Df , pois s´ assim existir´ f (a). o a

2

f ´ cont´ e ınua em X se, e s´ se, f ´ cont´ o e ınua em cada ponto de
X.

3

Se a ´ ponto isolado de X , ent˜o toda a fun¸˜o f : X → R, ´ e a ca e cont´ ınua no ponto a.

4

Toda a fun¸˜o f : Y → R com Y conjunto de pontos ca isolados, ´ cont´ e ınua em Y .

Continuidade

Exemplos:
1

f : Z → R ´ cont´ e ınua em Z, pois todo o ponto de Z ´ ponto e isolado.

2

f : N → R ´ cont´ e ınua em N.

Exerc´ ıcio: Sejam m e n dois n´meros reais e f a fun¸˜o definida em R por u ca f (x) = mx + b. Prove que f ´ cont´ e ınua em qualquer ponto a ∈ R.

Continuidade lateral

Sejam X ⊂ R, f : X → R, x0 ∈ X e x0 ∈ X . Diz-se que:
1

f ´ cont´ e ınua ` esquerda de x0 se, e s´ se, a o lim f (x) = f (x0 ).

− x→x0 2

f ´ cont´ e ınua ` direita de x0 se, e s´ se, a o lim f (x) = f (x0 ).

+ x→x0 Observa¸˜es: co 1

f ´ cont´ e ınua em x0 se, e s´ se, f ´ cont´ o e ınua ` esquerda e ` a a direita de x0 .

2

f ´ cont´ e ınua em [a, b] se, e s´ se, o f ´ cont´ e ınua em todos os pontos de ]a, b[; lim f (x) = f (a);

x→a+

lim f (x) = f (b).

x→b −

Descontinuidade

Sejam X ⊂ R, f : X → R, x0 ∈ X e x0 ∈ X . Diz-se que:
1

f ´ descont´ e ınua em x0 se, e s´ se, f n˜o ´ cont´ o a e ınua em x0 .

2

f ´ descont´ e ınua em X se, e s´