Matematica

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Homomorfismos de an´is e Quando estudamos determinada estrutura alg´brica, estamos tamb´m interessados naquelas e e fun¸˜es que preservam as opera¸˜es que definem estas estruturas. Em nosso caso, estamos co co trabalhando com an´is, que s˜o estruturas definidas a partir de duas opera¸˜es, que costumamos e a co chamar de soma e produto. Assim, estamos interessados em estudar as fun¸˜es definidas entre co dois an´is e que respeitam a soma e produto. Temos assim, a seguinte defini¸˜o. e ca
Defini¸˜o 1.1. Dados A e B an´is e f : A → B uma fun¸˜o, dizemos que f ´ um homomorca e ca e fismo de an´is, se valer: e (i) f (a + b) = f (a) + f (b), ∀a, b ∈ A;
(ii) f (a · b) = f (a) · f (b), ∀a, b ∈ A.
Observemos neste momento que as opera¸oes + e · ` esquerda na igualdade acima s˜o as c˜ a a opera¸oes de A, enquanto que as opera¸oes + e · ` direita da igualdade s˜o as opera¸˜es de B . c˜ c˜ a a co Se A e B s˜o an´is, e f : A → B ´ um homomorfismo injetor, ent˜o dizemos que f ´ um a e e a e monomorfismo. Se f ´ um homomorfismo sobrejetor, ent˜o dizemos que f ´ um epimorfismo. e a e Ainda, se f ´ um homomorfismo bijetor, ent˜o f ´ dito um isomorfismo. Neste ultimo caso, e a e ´ dizemos que os an´is s˜o isomorfos e notamos por A ea B . Vejamos agora alguns exemplos de

homomorfismos.
Exemplo 1.2. Sejam A e B dois an´is quaisquer. Ent˜o f : A → B , dada por f (a) = 0 ´ e a e claramente um homomorfismo de an´is. Tamb´m, idA : A → A dada por idA (a) = a, para todo e e a ∈ A ´ um homomorfismo. e n
´
(a fun¸˜o inclus˜o canˆnica). E ca a o 1 f´cil verificar que esta fun¸˜o ´ um monomorfismo de an´is. Assim, podemos dizer que Z ⊆ Q. a ca e e Exemplo 1.3. Considere i : Z → Q, definida por i(n) =

Exemplo 1.4. Se f : Z → Z ´ um homomorfismo de an´is, ent˜o f ´ a fun¸˜o nula ou f ´ a e e a e ca e identidade. Para verificar esta afirma¸ao, basta observar que dado n ∈ Z, temos n = 1 + 1 + ... + 1 (n c˜ vezes). Da´