matematica

Divisão Proporcional

Suponhamos que Antônio, José e Pedro tenham se associado para comprar um terreno no valor de R$ 60 000,00. Antônio entrou com R$ 30 000,00, José com R$ 20 000,00 e Pedro com R$ 10 000,00. Algum tempo depois, venderam o terreno por R$ 90 000,00. Qual a parte que cabe a cada um deles?

Por convenção, a cada real empregado na compra do terreno deve corresponder a mesma quantia resultante da venda, isto é, um quota. Essa quota corresponde à razão entre o preço de venda e o preço de compra, ou seja:

Assim, os três sócios irão receber as seguintes quantias:

Antônio: 30 000 x 1,5 = R$ 45 000,00
José: 20 000 x 1,5 = R$ 30 000,00
Pedro: 10 000 x 1,5 = R$ 15 000,00

Se escrevermos as razões entre as quantias recebidas e empregadas individualmente, obtemos:

A igualdade entre essas razões mostra que as quantias que os sócios receberam na venda são números proporcionais às quantias empregadas na compra do terreno. Desse modo pode-se dizer que o produto da venda foi dividido em três partes proporcionais às partes da compra.

Assim;

dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas proporcionais a esses números.

Divisão em partes diretamente proporcionais

Se quisermos dividir o número 180 em três partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11. Isso significa dividir o número em três parcelas, tais que a razão da primeira parcela para o número 2 seja igual à razão da segunda para o número 5 e igual a da terceira para o número 11. Assim chamamos de x, y e z, respectivamente, cada uma das parcelas. Ou seja:

Além disso, como x, y e z são as parcelas em que dividimos o número 180, devemos ter:

x + y + z = 180

Utilizando a propriedade da proporção que diz : em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente , então :

ou,

,