matematica

MA13 – Exercícios da Unidade 14

Lista 8
1) Um polígono regular de 2n lados está inscrito em uma circunferência de raio 1.
π 
a) Mostre que a área desse polígono é S 2 n = n ⋅ sin   .
n

Dica: A área de um triângulo ABC é

ˆ
AB ⋅ AC ⋅sin A
2

b) Utilize uma calculadora científica e calcule a área do polígono para n = 1000,
10000, 100000 e 1000000. Observe as aproximações (por falta) obtidas para o número
π.

2) Na figura ao lado ABCD é um quadrado e os arcos de circunferência foram traçados com centros em A e em C.
a) Calcule a área sombreada.
b) Determine, aproximadamente, a porcentagem que essa área representa da área do quadrado.

3) A figura ao lado mostra três circunferências de raio r tangentes entre si duas a duas.
Calcule a área sombreada.

C

ˆ
4) No triângulo ABC da figura ao lado, A = 90 0 e
ˆ
B = 30 0 . O ponto M sobre a hipotenusa é tal que
MB = 4 e MC = 2 . Calcule a área sombreada.

M

B

A

5) O quadrado da figura ao lado tem área A e as quatro circunferências no seu interior são iguais. Calcule, em função de A o valor da área sombreada.

6) Na figura ao lado as três semicircunferências têm diâmetros AB, AC e CB. O segmento CD é perpendicular à AB.
D
Dado CD = a , calcule a área da região sombreada em função de a.

A

7) Na figura ao lado a circunferência tem raio 1 e os arcos
AB e BC medem, respectivamente 50o e 80o. Determine o valor da área sombreada.

C
A
B

C

8) Três semicircunferências foram construídas com diâmetros iguais sobre os lados de um triângulo retângulo dado, como mostra a figura.
Mostre que a soma das áreas das duas “luas” é igual a área do triângulo.
(Problema de Hippocrates)

9) É curioso que π ≅ 2 + 3 . De fato, 2 + 3 ≅ 3,146 que é uma aproximação de π com erro menor que 0,5%. Use este fato para obter com régua e compasso um segmento aproximadamente igual ao comprimento de uma semicircunferência de raio R (dado).

B