matematica

Geometria sólida Ocupam-se com a geometria sólida e conduzem, pela via dos ângulos sólidos, aos volumes dos paralelepípedos, do prisma e da pirâmide, à esfera e àquilo que parece ter sido considerado o clímax - a discussão dos cinco poliedros regulares («platónicos») e a prova de que existem somente estes cinco poliedros regulares.

No livro XIII se desenvolvem construções visando à inscrição dos cinco poliedros regulares numa esfera.
Definição. Um poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, onde cada lado de um destes polígonos é também lado de um, e apenas um outro polígono. Cada um destes polígonos chama-se uma face do poliedro, cada lado comum a duas faces chama-se uma aresta do poliedro e cada vértice de uma face é também chamado vértice do poliedro. Todo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior deste poliedro. Dizemos que um poliedro é convexo se o seu interior C é convexo, isto é, quando qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C está inteiramente contido em C. Em um poliedro convexo toda reta não paralela a nenhuma de suas faces o corta em, no máximo, dois pontos.

Uma pergunta natural é se existe algum poliedro que satisfaz a Definição. Euclides inicia o Livro XIII de Os Elementos mostrando que existem pelo menos cinco deles: O tetraedro regular:

Em um tetraedro regular cujas arestas medem
Área da base

Área da superfície1

Altura 2

Volume1

Ângulo entre uma aresta e uma face

(aproximadamente 54.7356°)
Ângulo entre duas faces1

(aproximadamente 70.5288°)
Ângulo entre os segmentos que unem o centro e os vértices,3 também conhecido como ângulo tetraédrico

(aproximadamente 109.4712°)
Ângulo sólido em um vértice subentendido por uma face

(aproximadamente 0.55129 esferorradianos)
Raio da esfera circunscrita1

Raio da esfera inscrita que é tangente às faces1

Raio da esfera tangente a todas as