matematica

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Algebra A – An´is e Elaine Pimentel
Departamento de Matem´tica, UFMG, Brazil a 2o Semestre - 2010

An´is e Sejam A um conjunto com duas opera¸˜es + e ·. Ent˜o (A, +, ·) co a
´ um anel se: e A1 ∀a, b, c ∈ A (a + b) + c = a + (b + c).
A2 ∀a, b ∈ A a + b = b + a.
A3 ∃0 ∈ A tal que a + 0 = a ∀a ∈ A.
A4 ∀a ∈ A ∃α ∈ A tal que a + α = 0.
M1 ∀a, b, c ∈ A (a · b) · c = a · (b · c).
M2 ∀a, b ∈ A a · b = b · a.
M3 ∃1 ∈ A tal que a · 1 = a ∀a ∈ A.
AM ∀a, b, c ∈ A, a · (b + c) = a · b + z · c.

Propriedades

1. O elemento neutro da adi¸˜o ´ unico. ca e ´
2. O elemento neutro da multiplica¸˜o ´ unico. ca e ´
3. O inverso aditivo ´ unico para cada a ∈ A. e´ Al´m disso, dizemos que a ∈ A ´ invert´ e e ıvel se existir b ∈ A tal que a.b = 1. Observe que o inverso de a, se existir, ´ unico. e´ Mais algumas defini¸oes c˜ Dois elementos a e b de um anel A s˜o ditos associados a existir um elemento invert´ u tal que a = u · b. ıvel se

Um elemento n˜o nulo e n˜o invert´ de um anel ´ dito a a ıvel e irredut´ ıvel se seus unicos divisores s˜o os elementos
´
a invert´ ıveis do anel e seus associados.
Um elemento n˜o nulo e n˜o invert´ p de um anel ´ dito a a ıvel e primo se toda vez que p divide o produto de dois elementos de A, ele divide um dos fatores.

Dom´ de integridade ınio Um anel A ´ um dom´ e ınio de integridade com a = 0 e b = 0, ent˜o a · b = 0. a Observa¸˜es: co se dados a, b ∈ A

(Z, +, ·) ´ um dom´ de integridade. e ınio
Para todo a ∈ A, a · 0 = 0.
Para todo a ∈ A, (−1) · a = −a.
Se A ´ um dom´ de integridade, ent˜o ∀a, x, y ∈ A com e ınio a a = 0, a · x = a · y implica x = y .

Ideais

Um subconjunto I de um anel A ´ chamado de ideal e (i) I = ∅.
(ii) a, b ∈ I ent˜o a + b ∈ I. a (iii) a ∈ A e b ∈ I ent˜o a · b ∈ I. a Propriedades:
1. 0 ∈ I.
2. Se a ∈ I ent˜o −a ∈ I. a 3. Se a, b ∈ I ent˜o a − b ∈ I. a de A se:

Ideal principal e dom´ principal
ınio