Matematica

Universidade de Aveiro Departamento de Matem´tica a ´ Algebra Linear e Geometria Anal´ ıtica II Ano lectivo 2005/2006 Folha Te´rico-pr´tica 1 - Caracter´ o a ıstica de uma matriz.

1. Considere a matriz

 1 0 −1 1 0 0  A =  2 −1 1 −1 1 −1



Utilizando a defini¸˜o, determine a caracter´ ca ıstica de A. 2. Defini¸˜o 1: Chama-se matriz em escada por linhas a toda a matriz que satisfaz as condi¸˜es ca co seguintes: • as linhas nulas, quando existem, situam-se abaixo das linhas n˜o nulas; a • ` excep¸˜o da primeira linha, o primeiro elemento n˜o nulo de cada linha n˜o nula a ca a a situa-se ` direita do primeiro elemento n˜o nulo da linha anterior; a a • ` excep¸˜o da ultima linha, os elementos que se situam abaixo do primeiro elemento a ca ´ n˜o nulo de cada linha n˜o nula s˜o todos iguais a zero. a a a Mostre que a caracter´ ıstica de uma matriz em escada por linhas coincide com o n´mero de u linhas n˜o nulas dessa matriz. a 3. Defini¸˜o 2: Seja A uma matriz m × n sobre um corpo K. ca Chama-se matriz em escada por linhas equivalente a A a toda a matriz em escada por linhas que se obtem de A ap´s a realiza¸˜o de uma sequˆncia finita de opera¸˜es elementares sobre o ca e co as linhas de A. Seja A uma matriz m × n sobre um corpo K. (a) Descreva um processo que lhe permita obter uma matriz em escada por linhas equivalente ` matriz A. a (b) Mostre que a caracter´ ıstica de A coincide com a caracter´ ıstica de qualquer matriz em escada por linhas equivalente a A. 4. Em cada uma das al´ ıneas que se seguem, determine a caracter´ ıstica da matriz considerada.       1 3 −1 2 0 0 0 0 2 −2 −1 −3 0  4 2 1 −3   (c) A =  −1 1 0 1 0  1 1  (b) A =  (a) A =  0 0  0 2 0 3  1 0 −1 1 1 −1 1 0 1 1 3 −1 2

5. Em cada uma das al´ ıneas que se seguem, discuta em fun¸˜o do(s) parˆmetro(s) considerca a ado(s), a caracter´ ıstica da matriz considerada.       0 0 α 1 0 1 α 1 a 0 −1 b  2 2 0 α   1 −1 0 1   (b) A =  1 1  b 0  (c) A =  (a) A =   3 0 6 β 