matematica I

MATEMÁTICA I
1º Semestre - 2014/2015
FOLHA 1 DE EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES

Números reais, teoria de conjuntos e lógica

S.1. Resolva, em ℝ, cada uma das seguintes condições, indicando o respectivo conjunto-solução:
a) (𝑥 − 3)2 − 𝑥 2 = 0
b) 𝑥(𝑥 − 1) − 5𝑥 = 3𝑥 2
c) 𝑥(𝑥 − 1) − 5𝑥 ≥ 3𝑥 2
d) 𝑥(𝑥 − 1) − 5𝑥 ≤ 3𝑥 2
e) 25𝑥 2 − 10𝑥 < −1
f)
g)

2𝑥
𝑥−3
𝑥
𝑥−1

+

6
𝑥+3

−7≤

=−

28
𝑥 2 −9

1
𝑥−1

S.2. Considere o conjunto 𝐴 = {−1, 3, 5}. Indique, justificando, se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes: a) −1 ∈ 𝐴
b) {3} ∈ 𝐴
c) {3} ⊆ 𝐴
d) −1 ∈ (𝐴 ∩ ℕ)
e) −1 ∈ (𝐴 ∪ ℕ)
f) ∀𝑥 ∈ 𝐴 (|𝑥| ≥ 2)
g) ∃𝑥 ∈ 𝐴 (|𝑥| ≥ 2)
h) ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0
i) ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 5) = 0

1

S.3. Indique quais das seguintes proposições são verdadeiras e quais são falsas supondo que as variáveis intervenientes têm por domínio: (i) o conjunto dos reais; (ii) o conjunto dos naturais não nulos:
a) ∀𝑥 𝑥 2 + 1 > 1
b) ∀𝑥 𝑥 > 2 ⇒ 𝑥 > 1
c) ∀𝑥 ∃𝑦 𝑦 = 𝑥 2
d) ∃𝑦 ∀𝑥 𝑦 = 𝑥 2
e) ∀𝑥, 𝑦 ∃𝑧 𝑥 = 𝑦𝑧
f) ∃𝑥, 𝑦 (𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥 2 − 𝑦 2
g) ∀𝑥, 𝑦 (𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥 2 − 𝑦 2

S.4. Preencha os espaços em branco com “⟺” quando tal resulta numa proposição verdadeira ou, alternativamente, com “⟸” ou “⟹”, supondo que as variáveis intervenientes têm por domínio o conjunto dos reais.
a) 𝑥 = √4

𝑥=2

b) 𝑥 2 > 0

𝑥>0

c) 𝑥 2 < 9

𝑥 −3

S.5. Calcule o valor de cada uma das seguintes somas e observe a relação entre as alíneas b), c) e d):
5

𝑎) ∑
𝑛=0

(−1) 𝑛
2

6

b) ∑(−1) 𝑛 𝑛2
𝑛=1
7

c) ∑(−1) 𝑘−1 (𝑘 − 1)2
𝑘=2
5

d) ∑(−1) 𝑛+1 (𝑛 + 1)2
𝑛=0
10

e) ∑ 2
𝑛=0

2

5

f) ∑ (𝑐 − 1)

com 𝑐 ∈ ℝ

𝑛=−3

Álgebra Linear

S.6. Sejam 𝒖 = (−1, 3, 4), 𝒗 = (2, 1, −1), 𝒘 = (−2, −1, 3) vectores de ℝ3 . Calcule:
a) ‖𝒖‖
b) ‖𝒗‖
c) ‖𝒖 + 𝒗‖
d) ‖−𝒖‖
e)

𝒖 ⋅ (𝒗 + 𝒘)

f)

𝑑(𝒖, 𝒗)

S.7. Mostre que:
a) ‖𝒗‖ ≥ 0 ∀𝒗 ∈ ℝ 𝒏
b) ‖𝒗‖