matematica transformaçoes lineares

NOTAS DE AULA

Matemática 1
Cap. 7

Professor:

Luiz Fernando Nunes

Matemática 1 – (Nunes)

Índice

ii

Matemática 1 – (Nunes)

1

Matriz de uma transformação Linear
Sejam T : V  W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W.
Sem prejuízo da generalização, consideremos o caso em que dim V = 2 e dim W = 3.
Sejam A   v1 , v2  e B   w1 , w2 , w3  bases de V e W, respectivamente.
Um vetor v  V pode ser expresso por:

x  v  x1v1  x2 v2 , isto é v A   1 
 x2  e a imagem T v  por:
T v   y1w1  y 2 w2  y3 w3

(1)

 y1  isto é T v B   y 2 
 
 y3 
 
Por outro lado:
T v   T x1v1  x2 v2   x1T v1   x2T v2 

(2)

Sendo T v1  e T v2  vetores de W, eles são combinações lineares dos vetores de B:
T v1   a11w1  a21w2  a31w3
(3)
T v2   a12 w1  a22 w2  a32 w3
(4)
Substituindo estes valores em (2), vem:
T v   x1 a11w1  a21w2  a31w3   x2 a12 w1  a22 w2  a32 w3  ou T v   a11 x1  a12 x2 w1  a21 x1  a22 x2 w2  a31 x1  a32 x2 w3
Comparando esta igualdade com (1), conclui-se: y1  a11 x1  a12 x2 y2  a21 x1  a22 x2 y3  a31 x1  a32 x2
Ou, na forma matricial:
 y1   a11 a12 
x 
 y   a a 22    1 
2
21


 x
 y3  a31 a32   2 
  

Ou, simbolicamente:
A
A
T vB  T  B vA sendo a matriz T  B denominada matriz de T em relação às bases
A e B.
Observações:
A
a) A matriz T  B é de ordem 3 2 quando dim V = 2 e dim W = 3.

A
b) As colunas da matriz T  B são as coordenadas das imagens dos vetores da base A em relação à base B, conforme se pode ver em (3) e (4).

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2

De um modo geral, para T : V  W linear, se dim V = n e dim W = m,
A   v1 , v2 ,, vn  e B   w1 , w2 , , wm  bases de V e W, respectivamente, teremos que

A
T  B

é uma matriz de ordem m n , onde cada coluna é formada pelas coordenadas das imagens dos vetores de A em