Matematica foda

SEMANA OLÍMPICA 2007- nÍVEL 1 - DIVISIBILIDADE E RESTO

PROFESSOR ROBÉRIO BACELAR – [e-mail]

1. Introdução

O assunto divisibilidade no Conjunto dos Inteiros () é extremamente importante para resolução de problemas de Olimpíadas de Matemática (Teoria dos Números).
Quando falamos em “divisibilidade e resto”, pensamos logo que esse assunto é trivial, pois já foi visto na 5ª série. Mas não é bem assim, na realidade, esse tópico merece uma atenção mais profunda.

2. Divisibilidade

Definição

Sejam a e b dois inteiros, com a 0, diz-se que a divide b, se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a . q. Neste caso diz-se também que a é divisor de b e que b é múltiplo de a.
Indicaremos por a b o fato de a dividir b; e se a não dividir b, escrevemos a b.
Vejamos alguns exemplos:

1. 4 12, pois 12 = 4 . 3
2. – 5 30, pois 30 = - 5 . (- 6)
3. 7  -21, pois – 21 = 7 . ( - 3)
4. 3 11, pois não existe q inteiro tal que 10 = 3 . q

Para a relação x y nos inteiros valem as seguintes propriedades:

P1 : a a, a Z*, pois a = 1 . a (propriedade reflexiva)

P2 : se a b e b a . (propriedade anti–simétrica)

Demonstração:
De fato, por hipótese, b = a.q e a = b.q. Daí, b = b.(). Se b = 0, como a=b.q, então a=0, e se b0, então e portanto . Logo também nesse caso.

P3 : se a b e b c  a c (propriedade transitiva)

Demonstração:
Por hipótese, b = a.q1 e c = b.q2 . Daí, c = a.() e portanto a c.

P4 : se a b e c0, então a.c b.c .

Demonstração:
De fato, por hipótese b = aq e agora multiplique ambos os membros por c, vem:
b.c = (a.c).q. Portanto, a.c b.c.

Obs.: a recíproca da propriedade 4 também é verdadeira, ou seja, se a.c b.c a b. (Tente provar !)

P5 : se a b e a c, então a ( b c).

Demonstração:
Pela hipótese, b = aq e c = aq. Daí subtraindo ou somando uma equação de outra, vem:
(b c) = a (). Portanto, a (b c).

Critérios de Divisibilidade

Um inteiro qualquer diferente de zero, é