matematica financeira

EQUAÇÕES BINÔMIAS
Qualquer equação que possa ser reduzida à forma abaixo, é chamada equação binômia:

Para resolve-la, isolamos xn no primeiro membro e aplicamos a segunda fórmula de De Moivre:

Essa equação admite n raízes enésimas de .
Outro tipo muito comum de equação que envolve números complexos é o que se pode reduzir à chamada equação trinômia:

Para solucionála, fazemos uma mudança de variável, , obtendo uma equação do 2º grau:

cujas soluções são y’ e y”.
Retornamos então nas equações iniciais, pois y’ = xn e y” = xn.
Resolvendo-as, temos as raízes da equação inicial.
Exemplo:
Em C, encontre as raízes da equação .
Resolução:

Vamos procurar as raízes cúbicas de 8i:

Portanto:

Como n = 3, k = 0, k = 1, k = 2, e , temos:

Logo, o conjunto solução da equação é .

Equações binomiais e polígonos regulares Equações binomiais são as que podem ser escritas no tipo z n + w = 0. As soluções dessa equação são chamadas de raízes n-ésimas do complexo w, pois podemos escrevê-las da forma . Antes, apresentemos a definição de uma potência de um número complexo z = |z| (cos Ѳ + sen Ѳ ). Inicialmente, é preciso definir a multiplicação, que é z w = |z||w| (cos( Ѳ + α ) + sen( Ѳ + α )), ou seja, somam-se os argumentos e multiplicam-se os módulos. Então, em z n temos que: = |z|.|z|.|z| ... |z| (cos( θ + θ + ... + θ), sen( θ + θ + ... + θ)) =|z| n .(cos n θ, sen n θ). Equações binomiais e polígonos regulares Agora, como exemplo, resolveremos z 3 + 8 = 0, o que equivale a . Escrevendo z e -8 na forma trigonométrica e substituindo na equação, temos: |z| 3 .(cos 3 θ, sen 3 θ) =8 (cosπ, senπ) . |z| 3 =2 -> |z| = 2 (daqui descobrimos que todas as raízes têm módulo 2). 3 θ = π + 2kπ (expressão geral dos arcos côngruos com π). Equações binomiais e polígonos regulares Fazendo k variar em z, obtemos as raízes: k 1 =0 -> k 2 =0 -> k 3 =0 -> A partir de k=2 as respostas começam a se repetir. Portanto, existem três soluções