matemática

Páginas: 9 (2016 palavras) Publicado: 22 de outubro de 2013
Progressão aritmética ( PA )
  
Definição
 
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16).
Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma:
4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2
Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costumaser representada por r. Na PA dada temos r = 2.
Podemos, então, dizer que:
 
 
 
 
 
São exemplos de PA:
 
        (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5
        (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
        (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0
 
Notação
 
PA( a1, a2, a3, a4, ...., an)
Onde:
a1= primeiro termo
r = razão
n = número de termos( se for umaPA finita )
an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo
 
Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25)
a1 = 5 r = 4 n = 6 an = a6 = 25
 
Classificação
 
Quanto a razão:
        (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5.
Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente.
        (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
Toda PA de razão negativa ( r < 0) é decrescente.        (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0
Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária.
 
Quanto ao número de termos:
        (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10.
Toda PA de n° de termos finito é limitada.
        (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2, Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada.
 
Propriedades
 P1:Três termos consecutivos
 
 
 
 
Exemplo:
Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28.
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:

 seja a PA
( a1, a2, a3 ) temos que:

Exemplo1: Determine x para que a sequencia ( 3, x+3, 15) seja uma PA

X+3 =( 3 + 15) / 2 => x+3 =9 => x= 6 ( 3, 6+3 , 15) => (3, 9 , 15)

exemplo2: Determinar x para que a seqüência (3+x,5x,2x+11) seja PA
resolvendo essa equação obtém-se x=2

P2: Termo Médio
 
 
 
 
Exemplo: Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último. Representação genérica de uma PA de três termos

Para a resolução de certos problemas (envolvendo soma ou produto dos termos da PA). É de grande utilidade representar uma PA nas seguintes formas: (x, x+r,x+2r) ou (x-r ,x, x+r) onde “r” e a razão da PA.

Exemplo Determinar a PA crescente de três termos,sabendo que a soma desses termos é 3 e que o produto vale –8
Soma dos ermosx-r + x + x+r = 3 => 3x=3 => x = 1 Produto dos termos (1- r).(1).(1+r) = -8 => 1-r2 = - 8 => 1+8 = r2 => r2 = 9 r = +3 ou -3 como a PA é crescente temos que r = 3 resposta (-2,1,4)
 
P3: Termos Eqüidistantes
 
 
 
 
 
Exemplo:
Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31).
 
7 e 27
11 e 23 são os termoseqüidistantes dos extremos 3 e 31
15 e 19
 

 
 
Termo Geral
 
Uma PA de razão r pode ser escrita assim:
PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 an)
Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma:
 
PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an)
 
 
PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r )
 
Portanto, o termo geral será:
 
 
 
ExercíciosResolvidos
 
1. 1.      Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...).
Resolução: a1=3 a2=9 r = a2 - a1 = 9 – 3 = 6
(a1, a2, a3, a4,... )
 
 
Então: a4 = a1 + r + r + r => a4 = a1 + 3r =>a4 = 3 + 3.6 => a4 = 3+18 a4 = 21
 
2. 2.      Determine o oitavo termo da PA na qual a3 = 8 e r = -3.
Resolução: a3 = 8 r = -3
(a1, ...,a3, a4, a5, a6,...
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