Matemática e física

Páginas: 21 (5158 palavras) Publicado: 22 de maio de 2012
NOTAS DE AULA ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA RETAS E PLANOS

ERON E ISABEL

SALVADOR – BA 2007

EQUAÇÕES DA RETA EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA DEF: Qualquer vetor não nulo paralelo a uma reta chama-se vetor diretor dessa reta. Sejam v um vetor diretor de uma reta r e A um ponto de r. r X A

v

AX = t v, t ∈ R
Exemplos:



X = A + t v, t ∈ R

a) Uma equação vetorial da retaque passa pelos pontos A(-5, 2, 3) e B(4,-7,-6) é: X = A + t AB ⇒ (x, y, z) = (-5, 2, 3) + t (9,-9, -9), t ∈ R ou ainda, (x, y, z) = (-5, 2, 3) + t (1,-1, -1), t ∈ R b) As equações vetoriais dos eixos coordenados são X = O + t i , eixo das abscissas X = O + t j , eixo das ordenadas X = O + t k , eixo das cotas

INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA EQUAÇÃO VETORIAL

Podemos interpretar a equação X = A + t vcomo o movimento descrito por um ponto sobre a reta r, com velocidade constante (vetorial) igual a v , t indicando o tempo e A a posição no instante inicial t = 0. Valores negativos de t indicam o “passado” do movimento, em relação ao instante inicial. A cada valor de t temos uma posição bem determinada do ponto móvel e fazendo t percorrer todo o conjunto R, a reta r é percorrida integralmentepelo ponto (r representa a trajetória do movimento). Como há muitos movimentos retilíneos uniformes com a mesma trajetória, fica fácil entender por que existem muitas equações vetoriais para a mesma reta.

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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA Seja O, e1 , e2 , e3 um sistema de coordenadas cartesianas no espaço. Consideremos em relação a estesistema: X(x, y, z) um ponto genérico, A(x0, y0, z0) um ponto dado e v = (a, b, c) um vetor diretor da reta r. Escrevendo a equação vetorial da reta em coordenadas, obtemos (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c) ou seja,

(

)

 x = x0 + at   y = y0 + bt  z = z + ct 0 

, t∈R

que é o sistema de equações paramétricas da reta r.

Exemplo: As equações paramétricas do eixocoordenado y são

x = 0 + t ⋅ 0   y = 0 + t ⋅1 z = 0 + t ⋅ 0 

x = 0  ⇒ y = t , t ∈ R z = 0 

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EQUAÇÕES DA RETA NA FORMA SIMÉTRICA Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor é nula, podemos isolar t no primeiro membro de cada uma das equações paramétricas da reta e obter

x − x0 y − y 0 z − z 0 = = a b c

Exercícios: 1)Seja r a reta determinada pelos pontos A(1,0,1) e B(3,-2,3). a) Obtenha equações de r nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. b) Verifique se o ponto P(-9,10,-9) pertence à reta r. c) Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r, distintos de A e B. 2) Mostre que as equações
2x −1 1 − y = z + 1 descrevem uma reta, escrevendo-as de modo = 3 2 que possam ser reconhecidas como equaçõesna forma simétrica. Exiba um ponto e um vetor diretor da reta.

3) Escreva na forma simétrica a equação de uma reta no plano yz.

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PLANOS
POSTULADOS:
• • • • Por uma reta pode-se traçar uma infinidade de planos. Por três pontos não alinhados passa um único plano. A reta que passa por dois pontos distintos de um plano estácontida nesse plano. Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semi-planos.

DETERMINAÇÃO:
• • • • Por uma reta e um ponto não pertencente à reta, passa um único plano. Por duas retas paralelas (não coincidentes) passa um único plano. Por duas retas concorrentes passa um único plano. Por três pontos não alinhados passa um único plano.

EQUAÇÕES DO PLANO DEF: Se u e v sãoLI e paralelos a um plano π , u e v são ditos vetores diretores de π . EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO
Sejam u e v vetores diretores de um plano π , A um ponto fixo de π e X um ponto genérico de π . É claro que u , v e AX são LD, pois são coplanares. Como u e v são LI, temos AX = X − A = λ u + µ v , ou seja,

r r X = A + λu + µ v , λ , µ ∈ R
u v

u

v X

A

Exemplo: Dada uma reta r: X = A +...
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