matemática no ensino médio

Páginas: 70 (17468 palavras) Publicado: 3 de novembro de 2013
Ilydio Pereira de Sá
Geraldo Lins

Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins

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MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO
1ª PARTE: SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES

PARTE I - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA)
1) INTRODUÇÃO
Observe as seguintes situações, tiradas de situações do cotidiano ou de diversos ramos da
própria matemática:
1. Vinícius tem,guardados em seu cofrinho, 350 reais. Resolveu, a partir desse
momento, fazer uma poupança de forma que colocaria no cofrinho um real no
primeiro dia, dois no segundo, três no terceiro...e assim sucessivamente, até
o 30º dia. Quanto ele terá em seu cofrinho, passados os 30 dias?
2. A população de uma cidade cresce 2% a cada ano. Se em 1990 a população
era de 25 000 habitantes, quantos serão oshabitantes dessa cidade, em
2007, mantida a mesma taxa de crescimento anual?

3. Observe a seqüência abaixo:

.
.
.

. .

.

. .

. .
. . .

. . .

. . . .

1
3
6
10
Esses números são chamados de números triangulares (veja a disposição e a
quantidade de pontos de cada termo). Qual será o décimo termo dessa seqüência?
Problemas como os que apresentamos acima, que envolvemseqüências especiais,
serão facilmente resolvidos com as técnicas que estudaremos no capítulo das
progressões aritméticas e das progressões geométricas.
Quando escrevemos qualquer quantidade de números, um após o outro, temos o que
chamamos de seqüências. As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação de
um determinado fato ou fenômeno.
Imagine, por exemplo, que uma pessoaacompanhasse a variação do dólar (compra) nos
primeiros dez dias (úteis) do mês de abril de 2003. Vejamos o resultado de sua pesquisa na
tabela a seguir:

Dia útil
Dólar
(Compra)
(Abril de 2003)

1
2
3
4
5

R$ 3,335
R$ 3,278
R$ 3,255
R$ 3,246
R$ 3,171

Dia útil
Dólar
(Abril de 2003) (Compra)

6
7
8
9
10

R$ 3,164
R$ 3,184
R$ 3,214
R$ 3,213
R$ 3,181

Matemática no EnsinoMédio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins

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Verifique que os valores listados, que possuem uma certa ordenação, constituem uma
seqüência. Convenciona-se designar por uma letra minúscula qualquer (normalmente a) a
qualquer um dos termos de uma seqüência, usando como índice um número que denota a
posição do termo na seqüência. Assim, a notação a1 representao primeiro termo da
seqüência, que no nosso exemplo do dólar é o valor 3,335. A notação a10 representa o
décimo termo e assim sucessivamente.
Quando desejamos falar sobre um termo qualquer de uma seqüência, escrevemos
an.
Você pode usar as seqüências para registrar diversas observações, como a produção de
uma fábrica em cada mês, o número de telefonemas que você dá por dia, a taxa deinflação mensal etc. No exemplo que mostramos, da variação do dólar, não teríamos como
saber, por exemplo, a sua cotação no dia 15, ou no dia 20, já que a seqüência é variável e
depende de diversos fatores não previsíveis.
Em nosso curso vamos estudar umas seqüências muito especiais. Por sua regularidade,
conhecendo alguns termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-se
ProgressãoAritmética. Uma progressão aritmética é uma seqüência na qual, dado um
primeiro termo, obtemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantidade. Por
exemplo, vamos partir do número 7 e acrescentar 3, diversas vezes:
7
10
13
16
19
22 ...
+3 +3
+3
+3
+3
O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razão (R).
Portanto, nesse exemplo, temos: a1 = 7 e R =3.
Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e suas classificações:
3, 7, 11, 15, 19, 23 ...
Temos R = 4. Uma progressão crescente.
9, 7, 5, 3, 1, - 1, - 3, - 5, ...
Temos R = - 2. Uma progressão decrescente.
4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...
Temos R = 0.
… uma progressão estacionária.
Você já deve ter percebido que é muito fácil sabermos o valor da razão de uma progressão...
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