Matemática aplicada

Páginas: 5 (1164 palavras) Publicado: 8 de novembro de 2012
MATEMÁTICA APLICADA
Etapa 4 – Passo 3

No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.
Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, afunção f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por:
ou por

Definição Formal
Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto dos números reais e seja f uma função de I em (função esta que é formalmente denotada por ) . Se o ponto(lê-se: o ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a se existir o limite e o mesmo for finito
,
onde .
Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse umponto não isolado de I.
Funções com valores em R
Se for um intervalo de R com mais do que um ponto e se for uma função de em , para algum número natural , as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função
(ou seja: uma função que a cada x do domínio em responde com uma coordenada no contradomínio em . Esta coordenada é (cosx,senx)).
é derivável e

De fato, aspropriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, exceto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.
Diferenciabilidade
Derivabilidade num ponto
Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja  ∈  e seja uma função de em R derivável em . Então é contínua em . O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
Seja um intervalo de R commais do que um ponto, seja  ∈  e sejam e funções de em R deriváveis em . Então as funções  ± , e (caso  ≠ ) também são deriváveis em e:

Em particular, se  ∈ R, então . Resulta daqui e de se ter que a derivação é uma aplicação linear.
Sejam e intervalos de R com mais do que um ponto, seja  ∈ , seja uma função de em derivável em e seja uma função de em R derivável em . Então  o  é derivável em e.
Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.
Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja  ∈  e seja uma função contínua de em R derivável em com derivada não nula. Então a função inversa é derivável em e

Outra maneira de formular este resultado é: se está na imagem de e se for derivável em com derivada não nula, então

Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R emR definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliandoo gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.
Derivabilidade em todo o domínio
Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.
Uma função diferenciável - Uma função derivável de em R é constante se e só se a derivada for igual a em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
Uma função derivável de em R é crescente see só se a derivada for maior ou igual a em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.
Uma função cuja derivada seja sempre maior que é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por . Naturalmente,...
Ler documento completo

Por favor, assinar para o acesso.

Estes textos também podem ser interessantes

  • Matematica aplicada
  • MATEMÁTICA APLICADA
  • matematica aplicada
  • matematica aplicada
  • Matematica aplicada
  • Matematica aplicada
  • Matematica aplicada
  • Matematica aplicada

Seja um membro do Trabalhos Feitos

CADASTRE-SE AGORA!