Marli Derivadas

Derivadas
Já definimos o coeficiente angular de uma curva y = f(x) no ponto onde x = x0.

f ( x0  h)  f ( x0 ) lim h 0 h Chamamos esse limite, quando ele existia, de derivada de f em x 0.
Definição de Derivada – Função Derivada
A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função f ( x  h)  f ( x ) f´ cujo valor em x é:

f ´(x ) lim h 0

desde que o limite exista.

h

Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada
1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h).
2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença

f ( x  h)  f ( x ) h 3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando o
Limite:

f ( x  h)  f ( x ) f ´(x) lim h 0 h Notação

• Há vários modos de representar a

Figura 2.7: Derivadas em extremidades são limites laterais.
Derivada à esquerda de b
Derivada à direita de a
+

+

-





-

Exemplo 1 – Aplicando a Definição
Encontre a derivada de y  x e x  0
1) f ( x)  x

e f ( x  h)  x  h

2) f ( x  h)  f ( x )

h
( x  h)  x

h( x  h  x )

1

xh 

xh  h x

x

3) f ´( x ) lim h 0

1 xh 

x



1
2

x

m  y ' ( 2)  y 1

Reta tangente que passa por (2, 2 )

2 2

2 m( x  2)

y  x, x  0

y' 

1
2 x

,x 0

Regra 1 – Derivada de uma Função Constante
Se f tem o valor constante f(x) = c, então

df d 
(c ) 0. dx dx
Exemplo 2 – Usando a Regra 1
Se f tem o valor constante f(x) = 8, então

df d  (8) 0. dx dx
De maneira similar,

d  
   0 dx  2 

e

d dx  3  0.

Regra 2 – Regra de Derivação para Potências Inteiras Positivas
Se n for um positivo inteiro, então

d n n 1 x nx dx Regra 3 – Regra da Multiplicação por Constante
Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então

d du (cu ) c dx dx

Exemplo 4 – Usando a Regra 3
(a)

d
(3 x 2 ) 3.2 x 6 x dx Interpretação: Multiplicando-se cada ordenada por 3 para obter outra escala no gráfico y = x2, multiplica-se o coeficiente angular em cada ponto por 3.
(b) Um caso especial útil: a derivada da oposta de uma função