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O produto misto tem seu destaque na Álgebra Vetorial devido a sua interpretação geométrica que está relacionado ao volume de paralelepípedo ou tetraedro determinado por vetores. Neste post, veremos a sua definição, suas propriedades e aplicações.

Definição 1: Sejam os vetores , e . O produto misto desses vetores, tomados nesta ordem e denotado por é definido por

Sendo

segue que

ou seja, o produto misto dos vetores , e é um determinante de ordem e desta forma, suas propriedades decorrem das propriedades dos determinantes. É importante observar que o produto misto é um número real.

Exemplo 1: Calcule , sendo , e .

Resolução: Pela definição acima, temos

Proposição 1: Haverá uma troca de sinal no produto misto se fizermos uma permutação entre dois vetores quaisquer, isto é,

Demonstração: Segue diretamente do fato que a purmutação entre duas linhas de um determinante, altera o seu sinal.

Proposição 2: Valem as seguintes propriedades operatórias para o produto misto.

i) ; ii) ; iii) Se dois vetores quaisquer são paralelos, então o produto misto é nulo, isto é,

Demonstração: Segue imediatamente das propriedades de determinantes.

Proposição 3: A permutação das operações "" e "" no produto misto não alteral o seu valor, isto é,

.
Demonstração:

onde usamos a propriedade comutativa do produto escalar e a Prop. 1.

Sabemos que pontos não colineares sempre determina um único plano, mas pontos no espaço nem sempre são coplanares. Na proposição seguinte, veremos a condição para que isto ocorra.

Proposição 4: Os pontos , , e são coplanares se e somente se , onde , e .

Demonstração: Suponhamos que os pontos , , e sejam coplanares. Assim, os vetores , e são coplanares, de modo que existem tais que . Assim,

devido a Prop. 2.

Reciprocamente, se , então os vetores e são ortogonais. Mas isto somente é possível se pertencer ao plano definido por e , ou seja, , e são coplanares e consequentemente os pontos , , e .

Proposição 5: (Interpretação