M06 Aluno

Universidade Federal Fluminense
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Instituto de Matematica e Estat´ıstica
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Departamento de Matematica
Aplicada

C´alculo III-A – M´odulo 6
Aula 11 – Curvas Parametrizadas
Objetivo
• Parametrizar curvas planas e espaciais.

Parametriza¸c˜ ao de curvas
Parametrizar uma curva C ⊂ Rn (n = 2 ou 3) consiste em apresentar uma fun¸c˜ao vetorial σ : I ⊂ R → Rn (n = 2 ou 3), onde I ´e um intervalo e σ(I) = C. y σ

σ(t)
C

t x I

Exemplo 1
Sendo A, B ∈ Rn (n = 2 ou 3), parametrize o segmento de reta C de extremidade inicial A e final B.
Solu¸c˜ao:
−→ −−→
−→
Se P ∈ C, ent˜ao OP = OB + tAB , 0 ≤ t ≤ 1 ou P − 0 = B − 0 + t(B − A) , 0 ≤ t ≤ 1 ou
P = B + t(B − A) , 0 ≤ t ≤ 1. Logo, uma parametriza¸c˜ao do segmento C ´e dada por σ(t) = B + t(B − A) , 0 ≤ t ≤ 1 .

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Calculo
III-A

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Modulo
6

2

Exemplo 2
Seja C ⊂ plano xy, o gr´afico de uma fun¸c˜ao y = f (x) , x ∈ I. y C

(x, f (x))

x

x

I

Ent˜ao, uma parametriza¸c˜ao de C ´e dada por σ(t) = (t, f (t)) , t ∈ I .

Exemplo 3
Seja C a circunferˆencia x2 + y 2 = a2 , a > 0; P = (x, y) ∈ C e t o ˆangulo em radianos entre o eixo positivo x e a semirreta OP . y C

a a P t y x a

x

Observe que quando t aumenta de 0 a 2π, o ponto P = (x, y) = (a cos t, a sen t) se move, uma vez sobre C no sentido anti-hor´ario a partir do ponto (a, 0). Logo, uma parametriza¸c˜ao de C ´e σ1 (t) = (a cos t, a sen t) , 0 ≤ t ≤ 2π .
Observe que σ2 (t) = (a sen t, a cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π ´e tamb´em uma parametriza¸c˜ao de C, pois x2 + y 2 = a2 . Neste caso, quando t aumenta de 0 a 2π, o ponto P se move uma vez ao longo de
C no sentido hor´ario, a partir do ponto (0, a).
Observe que σ3 (t) = (a cos(2π − t), a sen(2π − t)) = (a cos t, −a sen t) , 0 ≤ t ≤ 2π ´e outra parametriza¸c˜ao de C, e P se move ao longo de C no sentido hor´ario a partir do ponto (a, 0).

UFF

IME - GMA

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Calculo
III-A

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Modulo
6

3

Exemplo 4
Seja a circunferˆencia C : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = a2 , de centro (x0 , y0 ) e raio a. Efetuando uma mudan¸ca de vari´aveis u = x − x0 e v =