Mínimos Quadrados

Páginas: 6 (1275 palavras) Publicado: 19 de agosto de 2013

Universidade Federal de Mato Grosso
Faculdade de Arquitetura Engenharia e Tecnologia
Curso de Engenharia Elétrica














Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste de Curvas















Cuiabá, MT

Introdução
É bastante comum em engenharia a realização de laboratório para a validação de sistemas reais. Os resultados são obtidos na forma de pontos cujocomportamento demonstra o relacionamento de uma variável independente (ou explicativa) com uma, ou mais, variável dependente (ou resposta). O gráfico destes pontos é chamado de diagrama de dispersão (ver figura 1).

Entretanto, dado um diagrama de dispersão, é pouco provável que haja uma curva que passe exatamente por cada ponto e que descreva fielmente o sistema observado em laboratório. Arazão disto é que a obtenção de dados experimentais possuem erros inerentes ao processo. Além do mais, algumas variáveis podem sofrer alterações durante a experiência, o que irá provocar desvios na resposta.
Dessa forma, para definir uma função analítica que descreva o sistema não se deve optar por uma forma polinomial interpolada dos pontos fornecidos, e sim uma curva que melhor se ajusta a estespontos levando em consideração a existência de erros que, em geral, não são previsíveis (ver figura 2).

Uma das vantagens de se obter uma curva que se ajusta adequadamente a estes pontos, é a possibilidade de prever os valores da função (variável dependente) para valores da variável explicativa que estão fora do intervalo fornecido. Ou seja, é possível fazer uma extrapolação com uma aproximaçãorazoável.

Definição
Inicialmente, vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é uma função linear:

yi = a + bxi

Para que esta seja a reta que melhor se ajusta aos dados, devemos minimizar a soma das diferenças entre os valores de f(x) tabelados yi e os valores da curva de ajuste a+bxi em cada ponto. Mas esta diferença pode ser tanto positiva quanto negativa, o que pode ocasionar emuma soma nula das diferenças mesmo com os valores muito distantes da reta.

Uma forma de evitar o cancelamento é minimizar o quadrado da diferença. Poderíamos ter escolhido minimizar o módulo da diferença, mas isto acarretaria em uma complicação nos cálculos, devido à necessidade de se obter as primeiras derivadas. Supondo que sejam p pontos tabelados, definimos a função:Nosso problema agora é encontrar valores de a e de b que minimizam S(a,b).
Usando notação matricial, com os resíduos definidos por:
Ri=yi – (a+bxi)
E definimos as matrizes












Segue que yi = a+bxi para todo i variando de 1 p é o mesmo que ax = y. Assim como queremos minimizar

Em notação matricial temos que

Onde
R = Y –AX
Denotando M = S(a, b), temos

M = (Y − AX )T (Y − AX )=Y T Y − X T AT Y −Y T AX + X T AT AX

Queremos obter os parâmetro a e b ou, em notação matricial, o vetor X de modo a minimizar M. Para isso, o gradiente de M (ou seja, a derivada primeira da função de duas variáveis M) deve ser nulo:


M = −AT Y −Y T A + 2AT AX = 0 ⇒ AT AX = AT Y

Assim, para encontrarmos a e b que faça com que asoma do quadrado das diferenças entre yi e a+bxi seja mínima basta resolvermos o sistema linear

AT AX = AT Y

Como a matriz ATA é simétrica definida positiva, o sistema linear admite solução única e esta solução será o ponto crítico que será o ponto de mínimo.
Efetuando os cálculos de ATA e de ATY temos:

Ajuste de Curvas por Polinômios e outras Funções

Podemos generalizar esteresultado para ajustarmos qualquer polinômio da forma

aos pontos (xi, yi). Basta fazermos :

Então, para encontrarmos os pontos a0, a1, ..., an, temos que resolver o mesmo sistema ATAX=ATY. Efetuando os cálculos de ATA e de ATY, temos:

Este procedimento pode ser generalizado para qualquer curva de ajuste da forma

Desde que as funções gi(x) avaliadas nos pontos resultem em vetores...
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