Métodos Numéricos

Páginas: 7 (1521 palavras) Publicado: 4 de novembro de 2013
´
METODOS DIRECTOS PARA A RESOLUCAO DE SISTEMAS
¸˜
LINEARES

´
METODO DE GAUSS
COM ESCOLHA PARCIAL DE PIVOT


1
 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2 x4 = 1


2x1 + x2 + 2x3 + x4 = 2
1
 2 x2 + 4x3 + 2x4 = −3


x1 + 3x3 + 3x4 = 4

Forma matricial do sistema:


4 2
 2 1

 0 1
2
1 0


1
3 2
x1
2 1   x2

4 2   x3
x4
3 3






1
  2 

=
 −3 
4

Matriz ampliada do sistema:


4
 2

 0
1

2
1
1
2

0

3
2
4
3

1
2

1
2
3

|
|
|
|


1
2 
.
−3 
4

Escolhemos para pivot o maior elemento em m´dulo da primeira
o
coluna da matriz activa (matriz dos coeficientes). O pivot ´ 4. Ane
ulamos os elementos situados abaixo do pivot.



4 2
 2 1

 0 1
2
1 0

3 1
2
2 1
4 2
3 3|
|
|
|


1
2
2  − 4 L1 + L2 → L2

 − 1 L1 + L4 → L4
−3
4
4



4 2
 0 0

1
 0
2
1
0 −2

3
1
2

1
2
3
4

4

2

9
4

23
8

|
|
|
|

1



3
2



−3 
15
4

Primeira linha e primeira coluna deixam de fazer parte da matriz
activa. Maior elemento em m´dulo da primeira coluna da matriz
o
activa ´ 1/2, pelo que temos que trocar alinha 2 com a linha 3;
e
depois anulamos os elementos situados abaixo do pivot 1/2.

1


L2 ↔ L3

4 2
1
 0
2

 0 0
0 −1
2

1
2

3
4

2

1
2
9
4

|
|
|
|

3
4
23
8


1
−3 

3  L2 + L4 → L4
2
15
4



4
 0

 0
0

2
1
2

0
0

1
2

3
4

2

1
2
25
4

3
4
39
8

|
|
|
|


1
−3 

3 

|
|
|
|
1
−3 

3 

2
3
4

Segunda linha e segunda coluna deixam de fazer parte da matriz
activa. Maior elemento em m´dulo da primeira coluna da matriz
o
activa ´ 25/4. Assim temos que trocar a linha 3 com a linha 4;
e
depois anulamos o elemento situado abaixo do pivot 25/4.

L3 ↔ L4

4
 0

 0
0

2
1
2

0
0

1
2

3
4

2

25
4
1
2

39
8
3
4

|
||
|



1
4
 0
−3  1
 2

3 − 6 1 L2 +L4 → L4 
0
4
4
3
0
2

2
1
2

0
0

3
4
25
4

0

1
2

2
39
8
9
25

Esta ultima matriz ampliada, que est´ na forma de Gauss, cor´
a
responde ao sistema:

1
 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2 x4 = 1
 1

2 x2 + 4x3 + 2x4 = −3
3
 25 x3 + 39 x4 = 4
8
 4
 9
36
25 x4 = 25

donde obtemos


 x4


x3
x2


x1

=4
= −3
.
=2
=1

2

4
36
25

´
METODO DE GAUSS
COM ESCOLHA TOTAL DE PIVOT

1
 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2 x4 = 1


2x1 + x2 + 2x3 + x4 = 2
1
 2 x2 + 4x3 + 2x4 = −3


x1 + 3x3 + 3x4 = 4

Forma matricial do sistema:


4 2
 2 1

 0 1
2
1 0


1
x1
3 2
2 1   x2

4 2   x3
x4
3 3






1
  2 
=

  −3 
4Matriz ampliada do sistema:


4
 2

 0
1

2
1
1
2

0

3
2
4
3

1
2

1
2
3

|
|
|
|


1
2 

−3 
4

Escolhemos para pivot o maior elemento em m´dulo da matriz
o
activa, que ´ 4. Anulamos os elementos situados abaixo de 4.
e


4
 2

 0
1

2
1
1
2

0

3
2
4
3

1
2

|
|
|
|

1
2
3


1
2
2  − 4 L1 + L2 → L2

− 1 L1 + L4 → L4
−3
4
4



4 2
 0 0

1
 0
2
1
0 −2

1
2
3
4

3
1
2

4

2

9
4

23
8

|
|
|
|

1



3
2



−3 
15
4

Primeira linha e primeira coluna deixam de fazer parte da matriz
activa. Escolhemos o maior elemento em m´dulo da matriz activa
o
para pivot. Este ´ 4. Temos que trocar a linha 2 com a linha 3 e a
e
coluna 2 com a coluna3 e de seguida anulamos os elementos abaixo
do pivot 4.

L2 ↔ L3
C2 ↔ C3

4
 0

 0
0

3
4
1
2
9
4

2
1
2

0
−1
2

1
2

2
3
4
23
8

|
|
|
|


1
−3 

3 
2
15
4

3


−1/2
4 L2
−9/4
4 L2

+ L3 → L3
+ L4 → L4

4 3
2
1
 0 4
2

 0 0 −1
16
25
0 0 − 32

1
2

2
1
2
7
4

|
|
|
|


1
−3 

15 
8...
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