Lógica Matemática

L´ogica Matem´atica
Rog´erio Augusto dos Santos Fajardo

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Pref´ acio A matem´atica n˜ao ´e uma ciˆencia, propriamente, mas, sim, uma linguagem.
Seus objetos de estudo n˜ao s˜ao reais, concretos, palp´aveis, mas s˜ao abstratos, padr˜oes estabelecidos pela mente humana que permeiam todas as ciˆencias.
Em certo sentido, portanto, a matem´atica pode ser vista como uma forma de falar sobre esses objetos abstratos de maneira clara, para podermos entendˆelos, desenvolvˆe-los e utiliz´a-los melhor. As ciˆencias que se baseiam em grande parte na matem´atica s˜ao chamadas de ciˆencias exatas. Isso porque chegou-se ao consenso de que quanto mais uma ciˆencia nela for alicer¸cada nela, menor
´e o risco de apresentar conclus˜oes erradas. Tal prerrogativa imp˜oe a essa linguagem uma enorme responsabilidade: a de n˜ao apresentar erros. N˜ao pode admitir imprecis˜oes, falta de clareza ou ambiguidades. Por esse motivo, fil´osofos e matem´aticos come¸caram a perceber – especialmente no in´ıcio do s´eculo XX – que a linguagem que usamos no cotidiano n˜ao era adequada para tratar de matem´atica, e que era necess´ario formalizar a linguagem da matem´atica de maneira rigorosa. Foi nesse contexto que surgiu a l´ogica matem´atica. O objetivo deste livro ´e introduzir ao estudante de matem´atica – seja em um curso de licenciatura ou em um curso de bacharelado – os fundamentos da l´ogica de primeira ordem, mostrando como essa pode ser utilizada para formalizar a matem´atica, tornando mais precisas as defini¸co˜es, nota¸co˜es e demonstra¸co˜es que nela aparecem.
Dentro dessa proposta, e procurando ser um texto autocontido – na expectativa de atender a um p´ ublico maior que o de estudantes de matem´atica
– foram inclu´ıdos cap´ıtulos sobre teoria dos conjuntos. Primeiro a teoria ingˆenua dos conjuntos, sem formaliza¸ca˜o rigorosa (Cap´ıtulo 3), e mais tarde, no Apˆendice A, j´a tendo sido desenvolvido todo o aparato l´ogico, a teoria axiom´atica dos conjuntos. Para convencer o