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Reta tangente

Sabemos que a velocidade média pode ser obtida pela razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-lo. De um modo mais prático,

Observe na figura acima que a velocidade média pode ser obtida através do valor do coeficiente angular da reta secante, ou seja,

A velocidade média envolve uma variação de tempo. Se reduzíssemos essa variação a uma fração muito pequena, digamos tendendo a zero, obteríamos o que chamamos de velocidade instantânea. Matematicamente podemos definir a velocidade instantânea como

Nesse caso, a velocidade instantânea é dada pelo coeficiente angular da reta tangente.

Exemplo: Encontre uma equação para a reta tangente à parábola y = x2 no ponto (1, 1).

Taxa de variação média e instantânea

Exemplo: Um projétil é lançado do solo. Desprezando-se a resistência do ar e o cano da arma, e admitindo-se conhecida a aceleração da gravidade, calculou-se a função que relaciona o espaço, em metros, e o tempo, em segundos, representada pela igualdade h = 80t – 4t2. Nessas condições, determine:
a) A velocidade vertical do projétil após 5s do seu lançamento.
b) A velocidade vertical do projétil após 10s do seu lançamento.
c) A velocidade no exato instante que o projétil toca o solo.
d) A velocidade vertical num instante t qualquer.

Observação: A velocidade pode ser vista como uma taxa de variação, mais precisamente, a taxa de variação da posição em relação ao tempo. As taxas de variação também ocorrem em outras aplicações. Por exemplo:

a) Um engenheiro pode estar interessado na taxa com que o comprimento de um cano de metal muda com a temperatura.
b) Um geólogo pode estar interessado na taxa com que a lava de um vulcão se desloca de acordo com a temperatura da lava.
c) Um médico pode estar interessado na taxa com que o raio de uma artéria muda com a concentração de álcool na corrente sanguínea.

Exemplo:Encontre a taxa de variação de y em relação a