Logaritmos

LOGARITMOS
O logaritmo é definido com sendo o expoente que uma determinada base deve ter para se obter o logaritmando. log b a = x

→

x

b = a

Onde:
•

a → logaritmando

•

b → base

•

x → logaritmo

Exemplo: log 2 8 = 3

→ 23 = 8

Quando a base é igual a 10, não é necessário escrevê-la. log5 = log10 5

Condições de existência log b a= x
•

b> 0 e b≠1
◦ A base deve ser maior que 0 (zero) e diferente de 1 (um), porque 1 elevado a qualquer número é sempre 1.

•

a> 0

◦ O logaritmando deve ser maior que 0 (zero), porque nenhum número elevado a outro resulta em 0 (zero).

Consequências da definição
•

log b 1=0
◦ Logaritmo de 1 (um) em qualquer base é igual a 0 (zero).

•

log a a=1
◦ Quando o logaritmando for igual a base, o logaritmo é sempre 1 (um).

•

log a am =m

•

a log b=b a Propriedades operatórias
Logaritmo do produto log b a . c = log b a+logb c
Exemplo:
log3 9 . 27 = log3 9+log 3 27 = log3 32 +log 3 33 = 2 log 3 3+3 log3 3 = 2+3 = 5

Logaritmo do quociente log b

a
= log b a−logb c c Exemplo: log 2

8
= log2 8−log 2 16 = log2 23 −log2 2 4 = 3 log2 2−4 log2 2 = 3−4 = −1
16

Logaritmo da potência log b am = m . log b a

Logaritmo da raiz
Lembre que n log b √ a

m

m

n

√ xm = x n

= log b a

m n =

m
. logb a n Mudança de base
É possível trocar a base de um logaritmo para qualquer outra. log b a =

logc a logc b

Exemplo: log 4 5 =

log10 5 log3 5
=
log10 4 log 3 4

Atenção! Quando a base for 10 (dez) não é necessário escrevê-la.

Exercícios de exemplo:
1) Calcule o

log3 5

sabendo que o

log3 45 = 3,464974

Para resolver, precisamos fatorar o 45 para podermos encontrar logaritmos mais fáceis de resolver.
45 = 5 .9 = 5 .3 2 então log 3 45 = log 3 5.32 = log 3 5 + log 3 32 = log3 5 + 2 sabendo-se que log 3 45 = log 3 5 + 2 podemos concluir que
3,464974 = log 3 5 + 2 portanto log 3 5 =