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Cadeias de Markov
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´tica-ICEx a Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi 22 de mar¸o de 2006 c Vamos supor que uma popula¸˜o ´ dividida em trˆs estados (por exemplo: ricos, classe ca e e m´dia e pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudan¸a de um e c estado para outro seja constante no tempo, s´ dependa dos estados. Este processo ´ o e chamado cadeia de Markov.
Seja tij a probabilidade de mudan¸a do estado j para o estado i em uma unidade de c tempo (gera¸˜o). Cuidado com a ordem dos ´ ca ındices. A matriz
2
3 
 1
1
t11 t12 t13
 t21 t22 t23  2
T =
3
t31 t32 t33
´ chamada matriz de transi¸˜o. A distribui¸˜o da popula¸ao inicial entre os trˆs estados e ca ca c˜ e pode ser descrita pela seguinte matriz:

 p1 P 0 =  p2  p3 est´ no estado 1 a est´ no estado 2 a est´ no estado 3 a A matriz P0 caracteriza a distribui¸˜o inicial da popula¸ao entre os trˆs estados e ´ ca c˜ e e chamada vetor de estado. Ap´s uma unidade de tempo a popula¸ao estar´ dividida o c˜ a entre os trˆs estados da seguinte forma e 

t11 p1 + t12 p2 + t13 p3
P1 =  t21 p1 + t22 p2 + t23 p3  t31 p1 + t32 p2 + t33 p3
1

estar´ no estado 1 a estar´ no estado 2 a estar´ no estado 3 a 2

1

MATRIZES

Lembre-se que tij ´ a probabilidade de mudan¸a do estado j para o estado i. Assim a e c matriz de estado ap´s uma unidade de tempo ´ dada pelo produto de matrizes: o e
P1 = T P0 .

1

Matrizes

Exemplo 1. Vamos considerar a matriz de transi¸ao c˜  1
1

T = 

2
1
2

0

2
1
4
1
2
1
4

3 
0
1
1 
2
2 
1
3

(1)

2

e o vetor de estados inicial

P0 = 

1
3
1
3
1
3




est´ no estado 1 a est´ no estado 2 a est´ no estado 3 a (2)

que representa uma popula¸˜o dividida de forma que 1/3 da popula¸˜o est´ em cada ca ca a estado.
Ap´s uma unidade de tempo a