Lista5

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
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INMA - Instituto de Matem´atica
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Lista 5 - Vetores e Geometria Anal´ıtica
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Prof Dr. Bruno Dias Amaro
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1. Verifique se as retas r e s s˜ao ortogonais; em caso afirmativo, se tamb´em s˜ao perpendiculares.
a) r : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) e s : X = (2, 4, 4) + λ(−1, 1, −1)
b) r : X = (0, 1, 0) + λ(3, 1, 4) e s : X = (−1, 1, 0) + λ(1, 0, 1) z x−4
4−y
c) r : x + 3 = y = e s:
=
= −z
3
2
−1
2. Encontre equa¸c˜oes param´etricas para a reta que passa por P = (2, 6, 1) e ´e perpendicular a r : X = (−3, 0, 0) + λ(1, 1, 3).
3. Encontre equa¸co˜es param´etricas da reta perpendicular comum `as retas reversas r : X = x+y =2
(2, 0, −1) + λ(1, 1, 1) e s :
.
z=0
4. Dˆe uma equa¸c˜ao vetorial da reta paralela ao plano π, perpendicular a` reta AB e que intercepta a reta s, sendo π : 2x − y + 3z − 1 = 0, A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 2), s : X = (4, 5, 0) + λ(3, 6, 1).
5. Encontre equa¸c˜oes param´etricas da reta que passa por P = (1, −1, 0) e ´e perpendicular ao plano π : X = (1, −1, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1).
6. Encontre o sim´etrico do ponto P = (1, 4, 2) em rela¸c˜ao ao plano π : x − y + z − 2 = 0.
7. Encontre o v´ertice B de um triˆangulo retˆangulo ABC sabendo que:
(i) A = (1, 1, 1) e a cota de C ´e maior do que a de A;
(ii) A hipotenusa AC ´e ortogonal ao plano x + y − z − 10 = 0 e mede

√
3;

(iii) o lado AB ´e ortogonal ao plano 2x − y − z = 0.
8. Encontre uma equa¸ca˜o geral do plano que cont´em o ponto A = (2, 1, 0) e ´e perpendicular aos planos π1 : x + 2y − 3z + 4 = 0 e π2 : 8x − 4y + 16z − 1 = 0
9. Encontre o cosseno do aˆngulo entre as retas r e s em cada caso.
√
√
a) r : X = (3, −2, 0) + λ(1, −1, 2) e s : X = (−2, 3, −5) + λ(1, 1, 2).

1

b) r : x =

z
1−y
=
2
3

e s:

3x + y − 5z = 0
2x + 3y − 8z = 1

10. Em cada caso, encontre a medida em radianos do aˆngulo entre a reta r e o plano π.
a)