Lista

C´lculo III a Unifesp - 1o semestre de 2013
Lista de Exerc´ ıcios 1

1. Mostre que o vetor f (t) = a cos(wr)i + a sen(wt)j + k ´ perpendicular a sua derivada. e `
Por quˆ? e 2. Calcule limt→2 1
[(t2
t−2

− 4)i + (t − 2)j]

Resposta :4i + j

3. Considere a curva cicl´ide r(t) = (t − sen(t))i + (1 − cos(t))j, t ∈ [0, 2π]. Determine o o comprimento de arco,e a fun¸ao comprimento de arco. Dica sen2 (t) = 1 (1 − cos(2t)) c˜ 2
√
Resposta : 8, 4 2(1 − cos

t
2

)

4. Verifique a continuidade de r(u, v) = ln(uv + 1)i +

u2 v j u4 + v 2

(1)

no ponto u = 0, v = 0 Resposta : n˜o ´ cont´ a e ınua 5. Determine
∂f
∂f
×
∂s
∂t
para f (s, t) = si + tj + (s2 + t2 )k 0 ≤ u ≤ 1; 0 ≤ v ≤ 1
Resposta :−2si − 2tj + k

6. Desenhe o campo vetorial de f (x, u) = −y i + xj para ao menos 6 pontos no plano xy e determine o valor de r · f
7. Verifique que (u · r) = u quando u = iux + juy + kuz n˜o tem varia¸ao espacial( ou a c˜ seja ´ constante) e 8. Determine o rotacional de
V = (x + 5)i + (y − 7)j e se for irrotacional ache o potencial correspondente. Resposta
: 0, V =

x2
2

+ 5x +

y2
2

− 7y + C

1

9. Calcule o divergente do campo escalar E = ey sen(x). Determine seu divergente (o campo el´trico), o laplaciano do campo escalar e o rotacional deste campo el´trico. e e
Explique o resultado.
Resposta : E = − V = ey cos(x)i + ey sen(x)j,

2

E = 0, 0

10. Verifique se as fun¸oes abaixo s˜o irrotacionais e e encontre φ tal que F = c˜ a poss´ ıvel:

φ, se

(a) F = y sen(2x)i + sen2 (x)j
Resposta : f (x, y) = ycos2 (x) − y cos(2x) + C
2

(b) F = z 2 senh(y)j + 2z cosh(y)k r ˆ
(c) F = Q |r|2

11. Determine o comprimento de um fio cuja equa¸ao vetorial ´ c(t) = et cos ti + et sin tj, c˜ e com 0 ≤ t ≤ 4.
√
12. Calcular C xyds, onde C ´ a elipse c = 2 cos ti + 4 sin tj,de (2,0) at´ (1,2 3). e e
13. Calcular

C

(x2 + y 2 + z 2 ) para a curva x2 + y 2 = 9, com t indo de 0 a 2π