Lista Solucao Modulo1

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

C´ alculo 2
Lista de Exerc´ıcios – M´ odulo 1 – Lista 1 – Solu¸c˜ ao 1) Dizemos que um n´ umero r ´e raiz de uma fun¸ca˜o f (x) quando f (r) = 0. Nesse exerc´ıcio vamos considerar um procedimento para obter uma raiz de uma fun¸ca˜o f por aproxima¸co˜es sucessivas, conhecido como m´etodo de Newton. Ele fornece, a partir de uma dada aproxima¸ca˜o xn da raiz, uma nova aproxima¸ca˜o xn+1 dada pela interse¸ca˜o do eixo x com a reta tangente a` f em xn . f xn

xn+1 x r

a) Usando a equa¸c˜ao da reta tangente a` f em xn , mostre que xn+1 = xn −

f (xn )
.
f (xn )

b) Suponha que f (x) e f (x) s˜ao fun¸co˜es cont´ınuas. Mostre que, se lim xn = r, ent˜ao r
´e uma raiz de f . xn 1
+ .
c) Aplicando o primeiro item para a fun¸ca˜o f (x) = x2 − 2, mostre que xn+1 =
2
xn
Quais ra´ızes que estamos aproximando nesse caso?
d) No item anterior, come¸cando da aproxima¸ca˜o inical x1 = 2, obtenha as 4 aproxima¸co˜es seguintes. Solu¸c˜ ao a) Temos que a equa¸ca˜o da reta tangente a f em xn ´e dada por y − f (xn ) = f (xn )(x − xn )
A interse¸ca˜o dessa reta tangente com o eixo x ocorre no ponto xn+1 no qual y = 0, portanto temos que xn+1 satisfaz
0 − f (xn ) = f (xn )( xn+1 − xn ),
Isolando xn+1 na equa¸ca˜o acima obtemos xn+1 = xn −

f (xn )
.
f (xn )

que ´e a f´ormula desejada.
P´agina 1 de 44

b) Do item anterior, temos que f (xn ) = f (xn )(xn − xn+1 ).
Passando ao limite, uma vez que lim xn = r, temos que lim xn+1 = r al´em disso, como f (x) e f (x) s˜ao cont´ınuas, temos que lim f (xn ) = f (r)

lim f (xn ) = f (r)

de onde segue que f (r) = f (r)(r − r) = 0
Isso mostra que f (r) = 0, como quer´ıamos.
c) Neste caso, temos que f (x) = 2x, de modo que xn+1 = xn −

f (xn ) x2 − 2 xn 1
= xn − n
=
+ . f (xn )
2xn
2 xn Temos que r ´e raiz de f (x) = x2 − 2 se, e s´o se

√ r2 − 2 = 0 ⇐⇒ r = ± 2
√
√
Portanto estamos aproximando 2 ou − 2.
d) Come¸cando com x1 = 2, temos que x1 1
2 1 x2 =
+
= + = 1, 5,
2
x1
2 2
1
1, 5
1
x2
+
=
+