Lista Fisica quântica

Universidade Federal do ABC - UFABC
Programa de Nanociências e Materiais Avançados
Disciplina: Fundamentos de Física Quântica – Lista 2
Discente: Midilane Sena Medina
Prof. Dr. Roney Miotto

Segunda Lista de Exercícios

Questão 01: Considerando os operadores de criação e destruição para um oscilador harmônico unidimensional a+ e a− , mostre que:
ˆ
(a) H = ω(a+ a− + 1/2) = ω(a− a+ − 1/2)

ˆ
H= −
=
= ω

d2 m + ω 2 x2
ˆ
2
2m dx
2
2

m 2 ω x−
ˆ
2

d
2m dx

m 2 ω x−i
ˆ
2

= ω a+ a− +

m 2 ω x+
ˆ
2
2

2m

2

d
2m dx

m 2 ω x+i
ˆ
2

p
ˆ

2

+

2

2m

p +
ˆ

1
2

Como a− a+ = a+ a− − 1, temos que:

1
ˆ
H = ω a+ a− +
2

= ω a− a+ −

(b) [a− , a+ ] = 1
Temos que

1
(mωx + ip)
2mω
1
=√
(mωx − ip)
2mω

a+ = √ a− Assim teremos

1

1
2

2m
1
2

m 2 ω 2

1
{[(mωx)2 − imωxp + ipmωx − (ip)2 ] − [(mωx)2 + imωxp − ipmωx − (ip)2 ]}
2mω
1
=
[imω(px − xp) − imω(xp − px) =
2mω
1
1
=
(imω[p, x]) − (−imω[p, x]) =
[2imω(−i )] = 1
2mω
2mω

[a− a+ ] =

onde utilizamos o fato de [p, x] = −i
ˆ
(c) [H, a+ ] = 1
ˆ
Sabendo que: H = ω a− a+ +

1
2

, então teremos

ˆ
[H, a+ ] = Ha+ − a+ H =
1
1
= ω a+ a− + a+ − a+ ω a+ a− +
=
2
2
1
1
= ω(a+ a− a+ + a+ − a+ a+ a− − a+ ) = ωa+
2
2
ˆ
(d) [H, a+ a− ] = 0

ˆ
[H, a+ a− ] = Ha+ a− − a+ a− H =
1
1
= ω a+ a− + a+ a− − a+ a− a+ a− +
2
2
1
1
= ω(a+ a− a+ a− + a+ a− − a+ a− a+ a− − a+ a− ) = 0
2
2

Questão 02: Sejam λn os autovalores e ψn os autovetores tal que a+ a− ψn = λn ψn .
(a) Mostre que λn ≥ 0
Temos que: a+ a− ψn = λn ψn
∗
Vamos multiplicar ambos os membros da equação 0.01 por ψn . Assim teremos:

ψn N ψn = λn ψn ψn
Sabemos que ψn ψn = 0 para ∀ψn = 0 e fazendo N = a+ a− então temos que:

2

(0.0.1)

ψn a+ a− ψn = λn ψn ψn ψn a+ a− ψn = λn a+ ψn a+ ψn ≥ 0
(b) Mostre que a+ a− (a+ ψn ) = (λn + 1)a+ ψn
Fazendo N = a+ a− e sabendo que [N, a+ ] = a+ , teremos que

N