Lista de matemática

Páginas: 10 (2435 palavras) Publicado: 23 de outubro de 2014
Definio Consideremos a seqncia ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferena entre qualquer termo e seu antecessor sempre a mesma 4 2 6 4 10 8 14 12 16 14 2 Seqncias como esta so denominadas progresses aritmticas (PA).A diferena constante chamada de razo da progresso e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r 2. Podemos, ento, dizerque So exemplos de PA Propriedades P1Trs termos consecutivos Exemplo Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos trs termos consecutivos quaisquer 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28. Observemos que o termo mdio sempre a mdia aritmtica dos outros dois termos seja a PA ( a1, a2, a3 ) temos que Exemplo1 Determine x para que a sequencia ( 3, x3, 15) seja uma PAX3 ( 3 15) / 2 x3 9 x 6 ( 3, 63 , 15) (3, 9 , 15) exemplo2 Determinar x para que a seqncia (3x,5x,2x11) seja PA resolvendo essa equao obtm-se x2 P2 Termo Mdio Exemplo Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo mdio 12. Observemos que o termo mdio sempre a mdia aritmtica do primeiro e do ltimo. Representao genrica de uma PA de trstermos Para a resoluo de certos problemas (envolvendo soma ou produto dos termos da PA). de grande utilidade representar uma PA nas seguintes formas (x, xr,x2r) ou (x-r ,x, xr) onde r e a razo da PA. Exemplo Determinar a PA crescente de trs termos,sabendo que a soma desses termos 3 e que o produto vale 8 Soma dos ermos x-r x xr 3 3x3 x 1Produto dos termos (1- r).(1).(1r) -8 1-r2 - 8 18 r2 r2 9 r 3 ou -3 como a PA crescente temos que r 3 resposta (-2,1,4) P3 Termos Eqidistantes Exemplo Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31). 7 e 27 11 e 23 so os termos eqidistantes dos extremos 3 e 31 15 e 19 Termo Geral Uma PA de razo r pode ser escrita assim PA( a1, a2, a3, a4,...., an-1 an) Aplicando a definio de PA, podemos escrev-la de uma outra forma PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an) PA( a1, a1 r, a1 2r, a1 3r, a1 4r, ..., a1 (n-1)r ) Portanto, o termo geral ser Exerccios Resolvidos 1. Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...). Resoluo a13 a29 r a2 - a1 9 3 6 (a1, a2, a3, a4,... ) Ento a4 a1 r r r a4a1 3r a4 3 3.6 a4 318 a4 21 2. Determine o oitavo termo da PA na qual a3 8 e r -3. Resoluo a3 8 r -3 (a1, ...,a3, a4, a5, a6, a7, a8,... ) Ento a8 a3 r r r r r a8 a3 5r a8 8 5.-3 a8 8 15 a8 - 7 3. Interpole 3 meios aritmticos entre 2 e 18. Resoluo Devemos formar a PA(2, ___, ___, ___, 18), em que a1 2 an a518 n 2 3 5 Para interpolarmos os trs termos devemos determinar primeiramente a razo da PA. Ento a5 a1 r r r r a5 a1 4r 18 2 4r 16 4r r 16/4 r 4 Logo temos a PA(2, 6, 10, 14, 18) Soma dos Termos de uma PA finita Consideremos a seqncia ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20). Trata-se de uma PA de razo 2. Suponhamos que se queira calculara soma dos termos dessa seqncia, isto , a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18,20). Poderamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2468101214161820 110. Mas se tivssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais prtico para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe a1a10 2 20 22a2a9 4 18 22 a3a8 6 16 22 a4a7 8 14 22 a5a6 10 12 22 Note, que a soma dos termos eqidistantes constante ( sempre 22 ) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do nmero de termos da PA, porque somamos os termos dois a dois). Logo devemos ao invs de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 110, e assim, determinamos S10 110 ( soma dos 10 termos ). E agora se fosse uma...
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