Lista de Exercícios EDO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
Campus Prof. Jos´ e Alo´ısio de Campos
Departamento de Matem´ atica 5a. Lista de exerc´ıcios - C´ alculo IV - 2013.2, 03/02/2014
1. Mostre que as fun¸c˜ oes f1 e f2 dadas s˜ao ortogonais no intervalo indicado. f1 (x) = ex , f2 (x) =
−x
−x xe − e em [0, 2].
2. Ache a s´e{ rie de Fourier de f no intervalo dado {
1, −1 < x < 0
0,
−π ≤ x ≤ 0
a)f (x) =
b)f (x) = x, 0 ≤ x < 1 sin x, 0 ≤ x ≤ π
c) f : R → R 2L-peri´odica dada por f (x) = x2 .
3. Use a letra b do item anterior para concluir que π 1
1
1
1
1
= + . − . + . − . + ···
4
2 13 35 57 79
4. Use a letra c do item anterior para mostrar que
∞
∑ π2 1
=
.
6
n2 n=1 { ao f dada por f (x) =
5. Considere a fun¸c˜

f (x) =

−1, −π < x < 0
, sua s´erie de Fourier ´e dada por
1,
0≤x L, e de definirmos a fun¸c˜ao do jeito que nos for conveniente no intervalo (L, T ). Use esse coment´ario para fazer as quest˜oes 6, 7, 8 e 9 abaixo.
6. Dada f (x) = x2 , para 0 ≤ x ≤ L, escreva f como uma s´erie de senos.
7. Dada g(x) = x, para 0 ≤ x ≤ π, escreva g como uma s´erie de senos.
8. Dada g(x) = x, para 0 ≤ x ≤ π, escreva g como uma s´erie de co-senos.
1

9. Dada g(x) = x, para 0 ≤ x ≤ π, escreva g como uma s´erie de senos e co-senos.
10. (a) Com o aux´ılio da forma exponencial complexa do seno e do cosseno nπx nπx nπx nπx
−i
−i i L
L
nπ e L +e nπ e L −e cos( x) = sen( x) =
L
2
L
2 i mostre que a s´erie de Fourier da fun¸c˜ao f
∞

a0 ∑ nπ nπ
+
[an cos( x) + bn sen( x)]
2
L
L
n=1

f (x) =

pode ser escrita na forma complexa por f (x) =

∞
∑

nπx cn e L , i n=−∞

onde c0 = a0 /2, cn = (an − ibn )/2, c−n = (an + ibn )/2, para n = 1, 2, 3, · · · .
(b) Mostre que c0 , cn e c−n da parte (a) podem ser escritos como uma u
´nica integral
1
cn =
2L

∫

L

f (x)e
−L

−i

nπx
L dx, n = 0, ±1, ±2, ±3, · · ·

11. Determine a temperatura u(x, t) em uma barra (homogˆenea com fluxo de calor