Lista de exercícios de Geometria analítica

Lista 03

Exercício 1. A sequência (u, v, w) é LD. Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
(justifique sua resposta):
(a) Necessariamente, um dos vetores é nulo.
(b) Se u = 0, então u é paralelo a v.
(c) Se u, v, w não são nulos, então dois deles são paralelos.
Exercício 2. Prove que:
(a) (u, v) é LD ⇒ (u, v, w) é LD.
(b) (u, v, w) é LI ⇒ (u, v) é LI.
(c) (u, v) é LD ⇔ (u + v, u − v) é LD.
Exercício 3. Prove que:
(a) (u, v) é LI ⇔ (u + v, u − v) é LI.
(b) (u, v, w) é LI ⇔ (u + v, u + w, v + w) é LI.
(c) (u, v, w) é LI ⇔ (u + v + w, u − v, 3v) é LI.
Exercício 4. Determine a e b, sabendo que (u, v) é LI e que (a − 1)u + bv = bu − (a + b)v.
Exercício 5. Suponha que (u, v, w) seja LI. Dado t, existem a, b, c tais que t = au + bv + cw. Prove que
(u + t, v + t, w + t) é LI ⇔ a + b + c + 1 = 0.

Nos exercícios abaixo, E denota uma base.
Exercício 6. Sendo u = (1, −1, 3)E , v = (2, 1, 3)E , w = (−1, −1, 4)E , determine a tripla de coordenadas de: (a) u + v

(b) u − 2v

(c) u + 2v − 3w

(d) Agora, verifique se u é combinação linear de v e w.
Exercício 7. Escreva t = (4, 0, 13)E como combinação linear de u = (1, −1, 3)E , v = (2, 1, 3)E , w =
(−1, −1, 4).
Exercício 8. u = (1, −1, 3)E pode ser escrito como combinação linear de v = (1, −1, 0)E , w = (2, 3, 1/3)E ?.
Exercício 9. Verifique se u, v, w são LD ou LI.
(a) u = (1, 0, 0)E , v = (200, 2, 1)E , w = (300, 1, 2)E .

(b) u = (1, 2, 2)E , v = (1, −1, −7)E , w = (4, 5, −4)E .

(c) u = (1, −1, 2)E , v = (−3, 4, 1)E , w = (1, 0, 9)E .

(d) u = (7, 6, 1)E , v = (2, 0, 1)E , w = (1, −2, 1)E .

Exercício 10. Calcule m de modo que u = (1, 2, 2)E seja gerado por v = (m − 1, 1, m − 2)E , w = (m +
1, m − 1, 2)E . Em seguida, determine m para que (u, v, w) seja LD.
Exercício 11. Determine m para que os vetores sejam LD.
(a) u = (m, 1, m)E ,

v = (1, m, 1)E .

(b) u = (1 − m2 , 1 − m, 0)E ,

v = (m, m, m)E

Exercício 12. Se (e1 , e2 , e3 ) é uma base, prove que (a1 e1 , a2 e2 , a3 e3 ) é uma base se, e somente