Lista de exercicios - 2ª unidade cálculo b

Páginas: 18 (4465 palavras) Publicado: 8 de maio de 2012
Universidade Federal da Bahia
´ Instituto de Matematica
´ DISCIPLINA: MATA03 - CALCULO B UNIDADE II - LISTA DE EXERC´ ICIOS Atualizada 2011.1 Coordenadas Polares √ [1] Dados os pontos P1 (3, 5π ), P2 (−3, 330◦ ), P3 (−1, − π ), P4 ( 2, −315◦ ), P5 (0, 53◦ ), 3 3 (1.1) A representa¸˜o gr´fica de cada um desses pontos no plano polar. ca a (1.2) Trˆs outros conjuntos de coordenadas polares para ospontos P3 e P4 . e (1.3) Quais desses pontos coincidem com o ponto P (3, 2310◦). (1.4) O conjunto principal de coordenadas polares do ponto P2 . [2] Em cada um dos ´ ıtens a seguir, identifique o lugar geom´trico do ponto que se move e e fa¸a um esbo¸o desse lugar: c c (2.1) Um ponto P (r, θ) se move de maneira que, para todos os valores de seu ˆngulo vetorial θ a seu raio vetor r permanececonstante e igual a 4. (2.2) Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu raio vetor, seu ˆngulo a vetorial permanece constante e igual a 4. [3] Determine um conjunto abrangente para cada uma das curvas dadas a seguir: (3.1) C1 : r = 4 (3.2) C2 : θ =
π 2

P6 (0, eπ ) e P7 (1, 3), determine:

(1.5) Um conjunto de coordenadas polares (r, θ) do ponto P3 , tal que r > 0 e θ ∈ (−7π,−5π).

(3.3) C3 : r = 2 cos θ

(3.4) C4 : r = 2 cos 4θ

[4] Verifique se o ponto P pertence ` curva C, sendo: a (4.1) P (−1, π ) e C : r 2 − 2 cos 2θ = 0 6 (4.3) P (4, π ) e C : r = 4 sen 3θ 2
π (4.4) P (0, 11 ) e C : r − 3 cos θ + r sen θ = 0.

(4.2) P (−1, π ) e C : r(1 − 3 sen θ) = 4 2

[5] Determine o conjunto principal de coordenadas polares dos pontos de coordenadas retangulares: √ 3 3 3(3.1) ,− (3.2) (3, −2) (3.3) ( cos 2, sen 2) 2 2 [6] Transforme as equa¸˜es cartesianas para polares: co (6.1) 2x − y = 0 (6.4) x3 + y 3 − 3axy = 0 (6.2) (x − 1)2 + (y − 3)2 = 4 (6.5) x2 + y 2 + 3y = 0

(6.3) y =

2x x2 + 1 2 (6.6) x − y 2 = 16

1

[7] Transforme as equa¸˜es polares para cartesianas: co (7.1) r = 8 sen θ (7.4) r 2 = θ (7.2) r 2 sen 2θ = 2 (7.5) r = 2 sen 3θ

6 2 − 3 senθ 2 (7.6) r = 4 cos 2θ (7.3) r = π 3

[8] Determine todos os pares de coordenadas polares do ponto Q sim´trico de P 2, e em rela¸˜o: ca (8.1) ao eixo polar (8.2) ao eixo ` 90◦ a (8.3) ao p´lo. o

[9] Considere a curva C : r 2 = 2 sen 2θ. (9.1) Determine uma equa¸˜o polar da curva C ′ sim´trica de C em rela¸˜o: ca e ca (a) ao eixo polar (b) ao eixo ` 90◦ a (c) ao p´lo. o

(9.2) Verifique se C´ sim´trica em rela¸˜o: e e ca (a) ao eixo polar (b) ao eixo ` 90◦ a (c) ao p´lo. o

[10] Ache os pontos de intersec¸˜o dos gr´ficos do par de equa¸˜es dadas: ca a co (10.1) 2r = 3 r = 1 + cos θ (10.2) r = 4(1 + sen θ) r(1 − sen θ) = 3 r = 2 + 2 cos θ π θ= 4 (10.3) r = 1 − sen θ r = cos 2θ

(10.4)

r = 4 − 2 sen θ r = −2 + 2 sen θ

(10.5)

[11] Deduzir a f´rmula da distˆncia entre ospontos P1 (r1 , θ1 ) e P2 (r2 , θ2 ) em coordenadas o a polares. [12] Fa¸a um esbo¸o do gr´fico das seguintes equa¸˜es polares: c c a co (12.1) r = 3 − 4 cos θ (12.4) r = −25 cos 3θ (12.7) r = 3θ, θ > 0 (12.2) r = 4 + 2 sen θ (12.5) r = 4 sen 5θ (12.8) r = −8 sen 2θ (12.3) r 2 = 9 sen 2θ (12.6) r = | sen 2θ|

´ Areas de figuras planas em coordenadas polares [13] Nos problemas a seguir encontre a ´readas regi˜es indicadas: a o (13.1) Interior ` circunferˆncia r = cos θ e exterior ` cardi´ide r = 1 − cos θ. a e a o (13.2) Exterior ` circunferˆncia r = cos θ e interior ` cardi´ide r = 1 − cos θ. a e a o (13.3) Intersec¸˜o do c´ ca ırculo r = cos θ com o interior da cardi´ide r = 1 − cos θ. o (13.4) Intersec¸˜o dos c´ ca ırculos r = 4 cos θ e r = 2. (13.5) Interior ` ros´cea r = 2 sen 2θ. a a 2 (13.6) Interior ` ros´cea r = 2 cos 3θ e exterior ` circunferˆncia r = 1. a a a e (13.7) Interior ` lemniscata r 2 = a2 cos 2θ. a (13.8) Interior ` ros´cea r = sen 2θ e exterior ` circunferˆncia circunferˆncia r = cos θ. a a a e e (13.9) Exterior ` lima¸on r = 2 − sen θ e interior ` circunferˆncia r = 3 sen θ. a c a e Comprimento de arco em coordenadas polares [14] Calcular o comprimento...
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