lista de exercicia

SOLUÇÕES
1. Expresse o domínio das funções abaixo em linguagem matemática e o esboce graficamente a) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

√𝑥+𝑦+1
𝑥−1

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥 + 𝑦 + 1 ≥ 0 ; 𝑥 ≠ 1}

b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑙𝑛(𝑦 2 − 𝑥)
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 2 > 𝑥 }

1

c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 4 ≥ 𝑥 2 + 𝑦 2 }

d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑒 2𝑥𝑦
𝐷 = ℝ2

e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 ≥ −𝑥 }

2

f) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥+1
𝑦

√𝑥+ 2

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 > −2𝑥 }

g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = log(𝑥 2 + 𝑦 2 − 9)
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥 2 + 𝑦 2 > 9 }

3

h) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦 − 𝑥 3
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 ≥ 𝑥 3 }

i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 ∙ ln(𝑥𝑦 − 1)
1

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥 ≥ 0 ^ 𝑦 > }
𝑥

4

j) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

√𝑦−𝑥 2 log(16−𝑥 2 −𝑦 2 )

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 ≥ 𝑥 2 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 < 16 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 15

2. Esboce as curvas de nível indicadas das funções abaixo
a) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 6 − 3𝑥 − 2𝑦 , para k = -6, 0, 6, 12
3

6−𝑘

2

2

𝑘 = 6 − 3𝑥 − 2𝑦 ⇒ 𝑦 = − 𝑥 + (

) (famílias de retas paralelas)

5

b) ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 𝑦 , para k = -4, 0, 1, 2
𝑘 = 𝑥 3 − 𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑘 (família de cúbicas)

c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥 2 + 2𝑥 , para k = -1, 0, 1, 2
𝑘 = 𝑦 − 𝑥 2 + 2𝑥 ⇒ 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑘 (família de parábolas)

d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 , para k = 0, 1, 2, 4
√𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑘

(família de circunferências de raio = k)

6

e) 𝑔(𝑥, 𝑦) = √16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , para k = 4, √12, 2, 0
𝑘 = √16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 − 𝑘 2 ⇒ √𝑥 2 + 𝑦 2 = √16 − 𝑘 2
(família de circunferências de raio = √16 − 𝑘 2 )

f) ℎ(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 + 𝑦 2 , para k = 0, 1, 4, 16
4𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑘
Substituindo-se 𝑥 = 0 na equação acima temos os pontos onde a CN intercepta o eixo 𝑦, que são 𝑦 = ±√𝑘 ;
Substituindo-se 𝑦 = 0 na equação acima temos os pontos onde a CN intercepta o eixo 𝑥, que são 𝑥 = ±

√𝑘
2

.

Assim, conclui-se que as curvas de nível são uma família de elipses com eixo 𝑥 medindo √𝑘 e eixo 𝑦 medindo 2√𝑘 .

7

g) 𝑓(𝑥, 𝑦) =