Lista de Exercícios 4 – Cálculo I

Páginas: 8 (1814 palavras) Publicado: 8 de setembro de 2014
Lista de Exercícios 4 – Cálculo I
Exercício 5 página 132: Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) e
interprete os resultados encontrados relacionando-os com o comportamento da função:
x+3
2− x
Antes de começar a calcular os limites de uma função com a finalidade de encontrar as
assíntotas verticais e horizontais, é importante calcular o domínio D da função, pois istonos dará informações importantes sobre as assíntotas verticais.

a) f ( x) =

Encontrando o domínio D da função f (x) :
O denominador da fração

x+3
deve ser diferente de zero, logo temos:
2− x



2−x ≠ 0

− x ≠ −2



x≠2

Não existem mais restrições aos valores que x pode assumir condicionados a existência de
f (x) , logo o domínio D da função f (x) será:

D = { x ∈ ℝ :x ≠ 2} .
Sabendo que x = 2 não pertence ao domínio da função, podemos calcular o limite da
função f (x) quando x se aproxima de 2 com a finalidade de verificar se existe uma
assíntota vertical neste ponto.
Calculando o limite obtemos lim f ( x) = ∞ , porém não sabemos se é positivo ou negativo.
x→ 2

Para isso precisamos calcular os limites laterais:
lim+

x→ 2

lim−

x→ 2

x+3
=−∞ , pois 2 – x < 0 quando x → 2 pela direita e
2− x

x+3
= +∞ , pois 2 – x > 0 quando x → 2 pela esquerda.
2− x

Como conseqüência, temos que a reta x = 2 é uma assíntota vertical da função f (x) .
Agora para tentar encontrar assíntotas horizontas devemos calcular o limite da
função f (x) quando x tende a ± ∞
Utilizando a regra para o cálculo de limites de divisão de polinômios quandox tende a
± ∝ temos:

1

 3
 3
x 1 + 
1 + 
x+3
 x  = lim  x  = −1
lim
= lim
x →±∞ 2 − x
x →±∞
 2  x →±∞  2 
x  − 1
 − 1
x 
x 
Logo existe uma assíntota horizontal de equação y = −1 .
Portanto as assíntotas são x = 2 e y = −1 .
b) f ( x) =

x2
x2 + 4

Determinando o domínio D da função f (x) :
Sabemos que o denominador da fração deve serdiferente de 0, porém x2 + 4 > 0 para todo
x. Logo, D = ℝ .
Como não há restrições para os valores de x para a função f (x) , não temos assíntotas
verticais.
Para encontrar assíntotas horizontais (se existirem) basta calcular o limite da função f (x)
quando x tende a ± ∞ :
x2
lim 2
x →±∞ x + 4
Usando a regra para os cálculos de limites de polinômios quando x tende à ± ∞ temos:
x2
x →±∞ x 2
lim⇒

lim 1 ⇒

x→±∞

lim f ( x) = 1

x →±∞

Portanto existe uma assíntota horizontal de equação y = 1
c) g ( x) =

3
x −4
2

Encontrando o domínio da função g (x) :
Sabemos que o denominador da fração tem que ser diferente de 0, logo temos:
x2 − 4 ≠ 0



x2 ≠ 4



x≠± 4



Portanto o domínio D da função f (x) : D = { x ∈ ℝ | x ≠ ±2}
Agora vamos procurar asassíntotas verticais e horizontais:

2

x ≠ ±2

Calculando o limite de g (x) quando x tende a ( – 2) temos:
lim g ( x) = lim±

x → − 2±

x →−2

3
= ∓∞
x −4
2

Logo existe uma assíntota vertical de equação x = −2 .
Calculando o limite de g (x) quando x tende a 2 temos:
lim±

x→ 2

3
= ±∞ .
x −4
2

Logo existe uma assíntota vertical de equação x = 2 .
Encontrando asassíntotas horizontais de g (x) :
lim

x → ±∞

3
=0
x −4
2

Logo existe uma assíntota horizontal de equação y = 0 .
Esta assíntota horizontal nos diz que para valores muito grandes de x , a função g( x ) se
aproxima do valor 1.
As assíntotas verticais nos dizem que a função cresce ou decresce muito rapidamente
quando x se aproxima de 2 ou quando x se aproxima de -2.
d) y =

1
x −x
2Para não confundirmos a função y =

1
com uma equação, utilizaremos a notação
x −x
2

y = y (x) para a função.

Primeiramente, encontraremos o domínio D da função y (x) :
Sabemos que o denominador da fração
x2 − x ≠ 0 ⇒

1
deve ser diferente de 0, logo temos:
x −x
2

x( x − 1) ≠ 0 ⇒

x ≠ 0 ou x ≠ 1

Portanto o domínio D da função y (x) é: D = { x ∈ ℝ : x ≠ 0 ou x ≠ 1} ....
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