Lista de Algebra Aplicada

Páginas: 3 (633 palavras) Publicado: 17 de setembro de 2014
´
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA
ˆ
CENTRO DE CIENCIAS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
´
ALGEBRA APLICADA I
Prof. Dr. Raimundo Alves Leit˜o J´ nior
a
u
Lista 1
ESPACO VETORIAL
¸
1. Considereo conjunto Rn := {(x1 , · · · , xn ) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n} munido das opera¸˜es:
co
(a) (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ).
(b) λ · (x1 , · · · , xn ) :=(λx1 , . . . , λxn ).
Verifique que Rn ´ um espa¸o vetorial.
e
c
2. Mostre que os seguintes conjuntos s˜o subespa¸os:
a
c
{
}
(a) W = (x1 , . . . , x4 ) : xi ∈ R4 : x1 + x2 = 0, x3 − x4 = 0 .{(
)
}
a b
(b) W =
∈ M (2 × 2) : b = c = 0 .
c d
3. Considere dois vetores no plano (a, b) e (c, d). Se ad − cd = 0, prove
que eles s˜o LD. Se ad − cd ̸= 0, mostre que eles s˜o LI.
a
a
4.Exiba uma base e determine a dimens˜o dos espa¸os vetoriais abaixo:
a
c
(a) M (2 × 3).
(b) M (n × m).
(c) Matrizes diagonais n × n.
(d) V = {(x, . . . , x) : x ∈ R}.
(e) V = {(x, 2x, 3x) : x ∈R}.
5. 
Seja
0
 1
0

W o subespa¸o de M (2 × 3) gerado pelos vetores
c 




0 2
0 1
0 1
0
1   0 −1   0 0 . O vetor  3 4  pertence a W?
5 0
0 0
1 0
0

6. Sejam U= [(1, 0, 0)] e W = [(1, 1, 0) , (0, 1, 1)]. Mostre que R3 =
U ⊕ W. Fa¸a uma figura indicando os subespa¸os U e W.
c
c
1

7. Se U e W s˜o subespa¸os do espa¸o vetorial V que tem dimens˜o finita,a
c
c
a
mostre que dimU ≤ dimV e dimW ≤ dimV. Ademais,
dim (U + W) = dimU + dimW − dim (U ∩ W) .
Dados V = [(1, 1, 0) , (0, 0, 1)] e W = [(1, 0, 1) , (0, 1, 1)] calcule dim (U ∩ W).
8. Mostreque, se V = W1 ⊕ W2 e α = {v1 , . . . , vk } ´ uma base de W1 ,
e
β = {w1 , . . . , wr } ´ uma base de W2 ent˜o γ = {v1 , . . . , vk , w1 , . . . , wr }
e
a
´ uma base de V. Este resultadocontinua verdadeiro se a soma n˜o
e
a
for direta? Justifique.
{
}
9. {
Sejam W1 = (x, y, z, t) ∈ R4 : x + y = 0, z − t = 0 e α = W2 =
}
(x, y, z, t) ∈ R4 : x − y − z + t = 0 subespa¸os de R4 .
c...
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