Lista 3 G A Vetores

Páginas: 6 (1456 palavras) Publicado: 4 de junho de 2015
Área 1 – Faculdade de Ciência e Tecnologia
NÚCLEO DE MATEMÁTICA – DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA
PROFESSOR: __________________________
ALUNO: __________________________________________

3ª LISTA DE EXERCÍCIOS

(Vetores)
Questão 1. Considere o paralelogramo a seguir, onde os pontos P e Q são os pontos médios dos lados BC
e AD, respectivamente. Determine:








P

B

a) AB+ AD

C

b) DC− QDc)

1 → →
CB+ QA
2


A



d) BC− QP

D

Q

Questão 2. Considere o paralelepípedo ABCDEFGH, atribua (V) ou (F), justificando o máximo possível.

JJJG JJJG
a) CD + AB é L.I.
JJJG JJJG
b) FG e DA são L.I.
JJJG JJJG JJJG
c) AB, AC e AD são L.I.
JJG JJJG
d) EF e FG são L.D.
JJJG JJJG JJJG
e) AD, DH e HG são L.D.
JJJG JJJG JJJG
f) HG, BF e AD são L.I.
JJG JJJG JJJG
g) FE, DH e AF são L.D.
JJJG JJJGh) AC e GE são L.I.
JJJG JJJG JJJG JJJG
i) AC + BE + GB e AG são L.I.
JJJG JJJG JJJG
j) AF − HF e AH são L.D.

H

G

E

F

D

A

C
B



Questão 3. Escreva o vetor u como combinação linear dos demais vetores, em cada caso:






a) u = ( −1,8 ) , v = (1, 2 ) , w = ( 4, −2 )








b) u = (1,0, −3) , u1 = (1, −1,0 ) , u 2 = (1, 2,0 ) , u 3 = ( 0,0,3)

Questão 4. Mostre que os pontos A(4,0,1), B(5,1,3) , C(3, 2,5) e D(2,13) são vértices do paralelogramo
ABCD . E represente-o no espaço através de suas coordenadas.

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Questão 5. Sejam u = (2,0,–1), v = (0,3,1) , w = (4m, −6, n − 2) , A(1,–2,0), B(–2,–2,1) e C(3,0,2). Faça o
que se pede:
→ →



a)
b)

Verifique se o conjunto {u, v, AB} é L.I. ou L.D;
Determine as coordenadas do pontoD, vértice do paralelogramo ABCD;

c)

Determine um vetor a que tenha a mesma direção, o sentido oposto e o dobro do tamanho de u ;

d)

Calcule os valores de m e n para que w seja paralelo a u + v ;











G
G
G
G G G
Questão 6. Sejam u = (1,3, −1), v = (0, −1,1) e w = (1,0, 2). Verifique se o conjunto {u, v, w} é uma base do
G
G
G K
espaço. Em caso afirmativo, determine as coordenadas dovetor a = 3u + 2v − w . Em caso negativo, escreva
G
G G
w como combinação linear de u e v.

Questão 7.. São dados os pontos A(0,1,2), B(2,1,0), C(–1,1,3), D(4,2,0) e E(1,2,1), verifique:

a)
b)

Se A, B e C são colineares;
Se A, C, D e E são coplanares.

Questão 8. Considere o cubo ABCDEFGH. Sejam A(3,5,4), B(6,5,4), D(3,5,7) e E(3,2,4). Faça o que se
pede, levando em conta os conhecimentos sobrevetores:
H

G

a)
b)
c)
d)

Determine as coordenadas dos outros vértices;
JJJG JJJG
Determine as coordenadas do vetor 2AC − DC em relação à base
JJJG JJJG JJJG
{AE, AD, AB} ;
Determine as coordenadas do vetor
JJJG
JJJG JJJG JJJG
AF em relação à base {AC, AE, AB};
Determine as coordenadas do vetor
JJJJG
JJJG JJJG JJJG
AG em relação à base {DA, AF, AB}.

E

F
D

A

C
B

Questão 9. Assinale (V)verdadeiro ou (F) falso nos itens a seguir, justificando devidamente suas
respostas.

G
G
a) Os vetores a = (1, −2,0) e b = (−2, 4,0) são paralelos;
G
JJG
G
b) Os vetores h = (4,0, −1) , m = (−2,3,1) e n = (0, 2,1) têm representantes num mesmo plano;
JJG
G
c) Os vetores w = (3, 2, −1) e f = (−3, −2,1) são coplanares, por isso são LD;
G
G
d) O ângulo entre os vetores u = (−2,3,3) e v = (1,0, −1) éobtuso;
e) O triângulo ABC formado pelos pontos A(0,1,2), B(4,2,1) e C(2,2,5) é retângulo em B;
G x
G
G
G
Questão 10. Sejam u = (1,0, −2), v = (0,1,1), w = ( −1,1,1) e a = ( ,3y,6). Faça o que se pede:
2
JJJG
JJG
a) Seja A(0,2,3), determine as coordenadas do ponto B, tal que AB = −2w ;
G
G
b) Verifique se os vetores a = (−3,0,6) e u são LI ou LD;
G
G G
G
c) Calcule as coordenadas do vetor y = 4u − v +2w ;
G
d) Determine as coordenadas de um vetor não nulo e ortogonal a v ;
G
G
G JJG
e) Um vetor h , onde h tenha a direção da bissetriz do ângulo (u , w) ;
G
f) Dados os ângulos diretores do vetor t : α = 45º, β - obtuso e γ = 120º, determine as coordenadas do
G
versor t 0 .

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JJG
G
G
Questão 11. Considere os vetores u = (1, −1, 2), v = (0, −2,3) e w...
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