lista 2 gaal

UFMG – GAAL MAT038
Lista de Exerc´ ıcios 1. Sejam P1 = (1, 0, 1), P2 = (0, 1, 1), P3 = (1, 2, 1), e P = (−1, 4, 1)
a) Demonstre que esses quatro pontos s˜o coplanares, mas n˜o colineares. a a
−→
−
−−
−→ −−
−→
b) Escreva o vetor P1 P como combina¸˜o linear dos vetores P1 P2 e P1 P3 . ca 2. Seja ax + by + cz + d = 0 a equa¸˜o de um plano π que n˜o passa pela origem e corta os ca a trˆs eixos. e a) Determine a interse¸˜o de π com os eixos. ca b) Se P1 = (p1 , 0, 0), P2 = (0, p2 , 0) e P3 = (0, 0, p3 ) s˜o os pontos de interse¸˜o de π a ca com os eixos, a equa¸˜o de π pode ser posta sob a forma ca x y z
+
+
=1
p1 p2 p3
c) Ache o ponto de interse¸˜o do plano 2x + y − z − 3 = 0 com os eixos. ca d) Determine a equa¸˜o do plano que passa pelos pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0) e ca C = (0, 0, 3).
3. Considere o ponto A = (1, 2, −1) e a reta r: a)
b)
c)
d)

x + y − z = 1 x + y + 2z = −2

Encontre a equa¸˜o da reta r. ca Calcule a distˆncia entre A e r. a Encontre a equa¸˜o da reta s que passa pelo ponto A e ´ perpendicular ` reta r ca e a Encontre um vetor unit´rio paralelo ` reta encontrada no item c) a a

4. Considere os pontos A = (1, 0, 2), B = (2, 1, 1) e C = (3, 1, 0)
(a) Verifique se A, B e C s˜o colineares. a (b) Caso eles n˜o sejam colineares, determine a equa¸˜o do plano que os cont´m. a ca e 
 x = 3 − 4t y = 4 + t
5. Determine se as retas r1 : t ∈ IR

z = 1 x+1 y−7 z−5 e
=
=
2
6
2
s˜o paralelas, reversas ou concorrentes e determine o ˆngulo formado por elas. a a
6. Seja π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e π2 o
→ →
−
− plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1), Q = (0, 0, 0) e ´ paralelo ao vetor i + j . e Ache o ˆngulo entre π1 e π2 . a 7. Seja π o plano que passa pela origem e ´ perpendicular ` reta que passa pelos pontos e a
A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distˆncia do ponto C = (0, 0, 1) ao plano π. a 8.