Lista 1
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Lista de Cálculo II – Profa Paula da Fonte Sanches_________________________________________________
1
CÁLCULO DE ÁREAS – RETIRADO DO SITE MATIMAQUÊS
Com a integral definida podemos calcular áreas. Isso ficou mostrado pelas considerações feitas anteriormente. Podemos então considerar 4 casos do uso da integral definida para calcular áreas :
1.º caso
A área está toda acima do eixo x ou seja f(x) 0 para todo x [a, b] , então
b
A f ( x )dx a y
F : [a, b] R , e f(x) 0 x [a, b].
X
a
2.º caso
b
A área está toda abaixo do eixo x ou seja f(x) 0 para todo x [a, b] , então
A
b
a
f ( x )dx
y
a
F : [a, b] R, e f(x) 0 x [a, b].
b
X
Neste caso, a área assinalada será calculada por:
b
a
3.º caso
f ( x )dx
ou
b
a
f ( x )dx
ou
a
b
f ( x )dx
A área está abaixo e acima do eixo x, ou seja f(x) 0 e f(x) 0 para todo x [a, b]. Então se calcula a(s) raiz(es) de f(x) e se estas estão no interior do intervalo de integração teremos: y
x1
a
f ( x)dx x f ( x)dx b .
1
X1 é a raiz da f(x) neste exemplo.
a
X x1 b
F : [a, b] R, e f(x) assume valores positivos, negativos e nulos para todo x [a, b].
4.º caso
A região cuja área queremos calcular, está situada entre duas curvas. y f(x) g(x) X a b
Como se vê, f(x) g(x), x [a, b], logo f(x) – g(x) 0.
Portanto, a função F(x) = f(x) – g(x) encaixa–se no 1.º caso:
1a Lista de Exercícios
A a ( f ( x) g ( x) ) dx b Lista de Cálculo II – Profa Paula da Fonte Sanches
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2
1) Calcule as integrais definidas.
a)
31
2 x dx
2
b)
0
c)
1 x 1 dx
x
1 2 x2
R: ln(3) – ln(2)
R: 1
dx
1
2
R:
0 2 (1 2x) dx
0
e) (4 x)(1 2 x 2 )3dx
1
2 1
f) dx 1 (3x) 2
d)
g)
2
1
4
2
3
R: 156
3
R: 0
R: 1/18
x (1 x 3 )dx
R:
x3
2x 2 7 x 1dx
h)
2
3
2
81
10
R : - 6,667
2) Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as