Limites

Capítulo 3

LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
3.1 Limites

O desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de limite. Por exemplo, as definições de derivada e de integral definida, independente de seu significado geométrico ou físico, são estabelecidas usando limites. Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma função y = f (x) nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu domínio. Por exemplo, seja f (x) = (2 x + 1)(x − 1) 2 x2 − x − 1 = . x−1 x−1

É claro que Dom(f ) = R − {1}. Estudaremos a função nos valores de x que ficam próximos de 1, mas sem atingir 1. Para todo x ∈ Dom(f ) temos que f (x) = 2x + 1. Vamos construir uma tabela de valores de x aproximando-se de 1, pela esquerda (x < 1) e pela direita (x > 1) e os correspondentes valores de f (x): x1 2 1.7 1.5 1.2 1.09 1.009 1.0009 1.00009 1.000009 1.0000009 1.00000009 f (x) 5 4.4 4 3.4 3.18 3.018 3.0018 3.00018 3.000018 3.0000018 3.00000018

Observando as tabelas, podemos verificar que: “à medida que x vai se aproximando de 1, os valores de f (x) vão aproximando-se de 3”. A noção de proximidade pode ficar mais precisa utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer x, y ∈ R é |y − x|. Assim a frase escrita entre aspas, pode ser expressa por: se |x − 1| aproxima-se de zero, então |f (x) − 3| também se aproxima de zero; em outras palavras: para que |f (x) − 3| seja pequeno é 125

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CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

necessário que |x − 1| também seja pequeno. O número 3 é chamado limite de f (x) quando x está próximo de 1. No exemplo, temos |f (x) − 3| = 2|x − 1|; logo, a distância de f (x) a 3 é igual a duas vezes a distância de x a 1. É claro que quando x aproxima-se de 1, |x − 1| aproxima-se de zero e consequentemente |f (x) − 3| também aproxima-se de zero. Mais ainda, poderemos tornar f (x) tão perto de 3 quanto desejarmos, bastando para tal considerar