Limites

Palavras chave: conceitos, definições, aplicações.

Tema 6 - Conceito de derivada

Matemática Aplicada

Ivonete Melo de Carvalho

Objetivos:

Diferenciar variação média de variação instantânea. Calcular taxas de variação média e instantânea. tangente à curva num determinado ponto. Compreender o conceito de derivada como a inclinação da reta Encontrar a equação da reta tangente à curva em um de seus pontos, bem como aplicar o conceito da derivada em seus cálculos.

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Conteúdo
Taxa de variação média. Taxa de variação instantânea.

Derivada como limite da razão incremental.

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Variação média
Chamamos de taxa média de variação à razão m, tal que:

∆y y f − yi m= = ∆x x f − xi ou , ainda ∆f f ( x + ∆x) − f ( x) m= = ∆x ∆x
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Livro-Texto, p. 137, ex 1, item a
Em uma indústria química, considerou-se a produção de detergente como função do capital investido em equipamentos e estabeleceu-se P(q) = 3q2, onde a produção P é dada em milhares de litros e o capital investido q é dado em milhares de reais.

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Livro-Texto, p. 137, ex 1, item a
3 ≤ q ≤ 5.

Determine a taxa de variação média da produção para o intervalo

qf = 5 ⇒ f(qf ) = 3 * 5 = 75 ∆f 75 − 27 48 m= = = = 24 ∆q 5−3 2
2
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qi = 3

⇒

f(qi ) = 3 * 3 = 27
2

Incremento
Um “incremento” é um acréscimo (valor positivo) muito, muito pequeno, tendendo a zero.

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Variação Instantânea

Chamamos de taxa de variação instantânea à razão m, tal que:

∆f m = lim ∆x →0 ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) m = lim ∆x ∆x →0
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Estime, numericamente, a taxa de variação instantânea da produção para q = 1

Livro-Texto, p. 137, ex 1, item b

m = lim

3( q + ∆x )2 − 3q2 m = lim ∆x ∆x →0

f (1 + ∆x ) − f (1) = ∆x ∆x →0

3q2 + 6q∆x + 3( ∆x )2 − 3q2 m = lim ∆x ∆x →0 6q∆x + 3( ∆x )2 m = lim ∆x ∆x →0
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Continua...
∆x(6q + 3∆x ) m = lim ∆x ∆x →0 m = lim (6q + 3∆x ) m = 6q se q = 1, então m = 6
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m = 6q + 3 * 0

∆x →0

Derivada

Uma derivada mede a taxa de