Limites_infinitos_e_no_infinito

Limites Infinitos e no Infinito
Limites infinitos
Você já estudou o gráfico da função f ( x ) =

1
.
x

5 y
4

1/x

3
2
1
0
-6

-5

-4

-3

-2

-1 -1 0

0+
1

2

3

4

5

6

x

-2
-3
-4
-5

1
=?
x → 0+ x

Como podemos determinar lim x 1

x

1

1

1

2

1
10

1
100

1
1000

0+

10

100

1000

+∞

2

1
= +∞ . Graficamente, isto indica que para valores de x “muito” próximo de zero, x pela direita, o gráfico está apresentando valores “muito altos” (infinito) no eixo y.
Portanto, lim

x → 0+

1
=?
x → 0− x

Mas, e lim

5 y
1/x

0
0- 0

-6

6x

-5

se x < 0 ⇒ 1/x < 0 e a resposta é negativa. x 1

x

-1

- 12

- 110

- 1100

- 11000

0-

-1

-2

-10

-100

-1000

-∞

Assim, lim

x → 0−

1
= −∞ . x C.M.C.L. 2009

1
1
1
= +∞ e lim
= −∞ , então lim não existe, já que os limites laterais são x →0 + x x →0 − x x →0 x diferentes. Como lim

Exemplo: Calcule lim

1

x →0 x 2

.

Solução
3

y

x

0
-10

-5

0

5

10

Vamos calcular, primeiro, os limites laterais:

1

1 1
=
lim
⋅ = ( +∞ )(+∞ ) = +∞ x → 0 + x 2 x →0 + x x
1
1 1 lim 2 = lim ⋅ = (−∞ )(−∞) = +∞ x → 0− x x →0 − x x lim Como os limites laterais são iguais, segue que lim

1

x →0 x 2

= +∞ .

Definição: A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: lim f (x ) = ±∞
;
lim f ( x) = ±∞
;
lim f ( x ) = ±∞ x →a

x →a +

x →a −

Exemplo: exercício 8 da página 102 do livro-texto.
Para a função R, cujo gráfico é mostrado a seguir, determine:
a) lim R (x )
4
x→ 2

3

b) lim R (x )

2

x→ 5

1

-6

-5

-4

-3

-2

0
-1 0
-1

c) lim R (x )
1

2

3

4

5

6

7

8

-2

x → − 3−

d) lim R (x ) x → − 3+

-3
-4

e) as equações das assíntotas verticais

Solução
Pela leitura do gráfico, podemos responder aos itens a, b, c e d.
a) lim R (x ) = −∞ x →2

b) lim R (x ) = +∞ x →5

c) lim R (x ) = −∞  x → −3−
⇒ ∃/ lim R (x )
d) lim R ( x ) = +∞  x→ − 3 x → −3+

e) assíntotas verticais: x = -3, x = 2, x = 5
C.M.C.L. 2009

Exemplo: exercício 24 da página 101 do