Limites - Calculo I

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NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E
REAIS

O conjunto dos números naturais é formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... Podemos representar este conjunto da forma: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.
Os números naturais são um subconjunto dos números inteiros. O conjunto dos números inteiros é representado por: Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ....}.
Os números inteiros, por sua vez, são subconjunto dos números racionais, que são formados tomando-se razões de inteiros (evitando-se a divisão por 0). Denotamos o conjunto dos números racionais da forma: Q = { pq ; p, q ∈ Z, q = 0}.
Alguns exemplos de números racionais:
3
20
5 = 51 = 60
; 1 ; − 10
; 0, 2 = 100
; 1, 3333.... = 43 , ...
12 2
É possível escrever um número decimal na forma fracionária ab .
Exemplo 1. Considere os seguintes números decimais. Escreva-os na forma

a b :

a) 1, 323232...
b) 0, 11111...

Os números que não podem ser √ expressos como a razão de dois inteiros são chamados de números irracionais. Por exemplo: 2 = 1, 4142135 . . .; π = 3, 1415926 . . .; e = 2, 718281 . . ..
Juntando os números irracionais aos racionais, obtemos o conjunto dos números reais, denotado por R.
Os números reais podem ser ordenados por tamanho. Considere a e b dois números reais: se b − a for positivo, escrevemos a < b (a é menor que b) ou b > a (b é maior que a). A notação a ≤ b
(equivalentemente b ≥ a) significa que a < b ou a = b.

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1.1

Intervalos

Dados a, b ∈ R, os subconjuntos de R que seguem, são chamados de intervalos:
Intervalos limitados
[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ R; a < x < b}
[a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b}

Intervalos Ilimitados
(−∞, b] = {x ∈ R; x ≤ b}
(−∞, b) = {x ∈ R; x < b}
[a, +∞) = {x ∈ R; x ≥ a}
(a, +∞) = {x ∈ R; x > a}
(−∞, +∞) = R

Observações:
a) Quando a = b, o intervalo [a, b] reduz-se a um ponto e é chamado intervalo degenerado.
b) +∞ e −∞ não são números reais. São apenas parte da notação de intervalos não limitados.
c) Todo intervalo