Leis dos Limites

Leis dos Limites LIMITE DE FUNC¸ OES REAIS ˜
JOSE ANT ´ ONIO G. MIRANDA ˆ
(vers˜ao preliminar)
1. Revisao: Limite e Func¸ ˜ oes Continuas ˜
Defini¸c˜ao 1 (Limite de Seq¨uˆencias). Dizemos que uma seq¨uˆencia de n´umeros reais xn convergente para um n´umero x = a quando n tende para infinito, e escrevemos limn→∞ xn = a ou simplesmente xn → a se podemos garantir que os n´umeros xn ficam t˜ao pr´oximos quanto se queira de x = a a partir de um ´ındice suficientemente grande, dito de outro modo: para todo ² > 0 existe n0 tal que
|xn − a| < ² sempre que n > n0
Defini¸c˜ao 2 (Fun¸c˜oes Cont´ınuas). Dizemos que uma fun¸c˜ao f : D → R ´e continua no ponto a ∈ D, quando a fun¸c˜ao f assumir valores f(x) t˜ao pr´oximos quanto se queira do valor f(a) para x suficientemente pr´oximos do ponto x = a, o que ´e o mesmo que: a seq¨uˆencia yn = f(xn) → f(a) sempre que D 3 xn → a .
Defini¸c˜ao 3 ( Limite de Fun¸c˜oes ). Seja f uma fun¸c˜ao definida para valores pr´oximos de x = a, exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a ´e um numero L, e escrevemos limx→a f(x) = L, quando para qualquer seq¨uˆencia xn → a, a seq¨uˆencia de valores yn = f(xn) → L.
A defini¸c˜ao acima ´e equivalente a pedir que para todo numero ² > 0 existe um δ > 0 ( que depende do ²), tal que:
|f(x) − L| < ² sempre que 0 < |x − a| < δ. que traduzindo significa que os valores f(x) ficam ²-pr´oximos do numero L ( um erro menor que
²) se calculamos f em pontos x que est˜ao δ-pr´oximos do n´umero a mais diferentes de a.
Na Defini¸c˜ao 3, o fato de ser para qualquer seq¨uˆencia e muito forte e tem varias implica¸c˜oes, como por exemplo:
(a) para provar que o limite de fun¸c˜ao seja diferente de L basta exibir duas seq¨uˆencias xn → a mais que f(xn) n˜ao seja convergente ou que f(xn) → M 6= L,
(b) se existir duas seq¨uˆencias xn, zn → a para as quais as seq¨uˆencias f(xn) e f(zn) tenham limites diferentes ent˜ao limx→a f(x) n˜ao