leis de kepler

Primeira lei de Kepler
Em primeiro lugar, consideramos o planeta como sendo uma partícula (o que se justifica com boa aproximação para o fim das leis de kepler, já que o tamanho dos planetas do sistema solar são desprezíveis em comparação com a sua distância ao sol). Então, usamos a teoria da gravitação universal: Supondo que a massa do planeta é constante, (o que está de acordo com os sistemas observados por kepler), usamos a primeira lei de Newton.

Assim, e Da última, podemos derivar a conservação do momento angular, multiplicando os dois membros por :

onde é uma constante, que sabemos ser a magnitude do momento angular.
Podemos transformar derivadas temporais em derivadas em relação a , a partir da seguinte relação: Se tivermos a derivada de qualquer função X(t) em relação ao tempo, podemos usar a regra da cadeia:

O que é de grande utilidade na equação diferencial:

É preciso aqui extrair do momento angular uma relação útil:

Substituindo na equação principal, Aqui, convém usar uma transformação de variável:

Utilizando-a na equação diferencial, a simplificamos significativamente.

A função que satisfaz à essa equação diferencial é: Ou seja, é uma constante arbitrária de integração, e pode ser obtido se for dada a posição do planeta em qualquer instante. Com menor do que 1, temos a equação de uma elipseescrita em coordenadas polares. Se for 0, a equação é a de um círculo.
Assim, derivamos a Primeira Lei de Kepler.
[editar]Segunda Lei de Kepler
A segunda Lei de Kepler é bem mais simples de se derivar.
A área descrita pelo raio-vetor que liga o planeta à sua estrela durante um certo tempo é dada por Onde são as áreas pecorridas em frações desse tempo. Podemos fazer essas frações de tempo arbitrariamente pequenas, e consequentemente teremos um N cada vez maior. Nada se altera se fizermos o limite em que as frações de tempo tendem a 0, ou seja: .