Lei de gravitação de newton

Podemos proceder 'ao contrário', e perguntar-nos quais são os movimentos que verificam a segunda lei de Newton para uma força de interacção com esta forma. Descrever esse movimento é achar a função r(t), i.e. a posição em função do tempo, que corresponde a uma aceleração que, multiplicada pela massa, é igual em cada instante à força de interacção gravítica. Como a aceleração é a segunda derivada em ordem ao tempo da função posição em função do tempo r(t) e a força gravítica é conhecida em função de r(t), este problema é um exemplo de uma equação diferencial. Esta equação diferencial dá-nos uma regra para o que acontece em cada instante. Resolver a equação passa por achar precisamente a curva r(t) que satisfaz esta lei para todo o t.
Newton foi o primeiro a pôr desta maneira o problema, que ele próprio resolveu, encontrando outras soluções para o problema de dois corpos, para além das elipses keplerianas. Descobriu que todas as órbitas do problema de 2 corpos em interacção gravítica são secções cónicas: podem ser elipses, as únicas que são curvas fechadas, parábolas ou hipérboles, ver figura. De que depende o tipo de cónica a que cada movimento vai corresponder. As elipses são órbitas fechadas, e portanto periódicas, o que significa que um corpo em órbita elíptica em torno de outro está 'ligado' a este. Pelo contrário, um corpo em órbita hiperbólica (e também nas parabólicas, que são a 'fronteira' entre as órbitas elípticas e as hiperbólicas) visita o outro corpo uma única vez: aproxima-se vindo de distâncias ilimitadas, e volta a afastar-se, perdendo-se nas grandes distâncias. A distância infinita, a força de atracção gravítica é nula, porque diminui com o inverso do quadrado da distância, e o corpo está livre. A diferença entre as órbitas parabólicas e hiperbólicas e as elípticas é portanto haver ou não condições para que o corpo em órbita se liberte da atracção gravítica do outro corpo e atinja distâncias arbitrariamente grandes, e isso depende apenas da