Lei da Gravitação Universal

Primeira Lei de Kepler: Lei das Órbitas Elípticas
"O planeta em órbita em torno do Sol descreve uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos".
Esta lei definiu que as órbitas não eram circunferências, como se supunha até então, mas sim elipses.
A distância de um dos focos (F1) até o objeto, mais a distância do objeto até o outro foco (F2), é sempre igual não importando a localização do objeto ao longo da elipse.

Consideramos o planeta como sendo uma partícula (o que se justifica com boa aproximação para o fim das leis de Kepler, já que o tamanho dos planetas do sistema solar são desprezíveis em comparação com a sua distância ao sol). Então, usamos a teoria da gravitação universal:
Supondo que a massa do planeta é constante, (o que está de acordo com os sistemas observados por Kepler), usamos a primeira lei de Newton.

Assim, Da última, podemos derivar a conservação do momento angular, multiplicando os dois membros por :

Onde é uma constante, que sabemos ser a magnitude do momento angular.
Podemos transformar derivadas temporais em derivadas em relação a , a partir da seguinte relação:
Se tivermos a derivada de qualquer função X(t) em relação ao tempo, podemos usar a regra da cadeia: =>

O que é de grande utilidade na equação diferencial:

É preciso aqui extrair do momento angular uma relação útil:

Substituindo na equação principal,

Aqui, convém usar uma transformação de variável:

Utilizando-a na equação diferencial, a simplificamos significativamente.

A função que satisfaz à essa equação diferencial é:

Ou seja,

é uma constante arbitrária de integração, e pode ser obtido se for dada a posição do planeta em qualquer instante. Com menor do que 1, temos a equação de uma elipse escrita em coordenadas. Se for 0, a equação é a de um círculo.

. Segunda Lei de Kepler: Lei das áreas
"A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais".
Esta lei determina