Laje fungiformes

6. SÉRIES DE FUNÇÕES
6.1: Séries de potências e a sua convergência
Definição 1.1: Uma série de potências de x − a é uma série da forma a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a ) +
2

+ an (x − a ) + n +∞

= ∑ an (x − a ) . n (1)

n =0

Uma série de potências de x − a é sempre convergente para

x = a . De facto, quando x = a , obtemos a série numérica a0 + 0 + 0 +

, cuja soma é a0 ∈ IR .

Mas será que existem outros valores de x para os quais a série (1) é convergente? O teorema seguinte fornece uma resposta a essa pergunta. Teorema 1.2: Teorema de Abel- séries de potências de x − a
+∞

Dada a série de potências

∑ an (x − a )n ,

apenas uma das

n=0

seguintes situações se verifica:
(i)

a série converge apenas para x = a ;

(ii)

a série converge (absolutamente) para todos os valores reais de x;

1

(iii)

existe um número real R > 0 (chamado raio de convergência) tal que a série converge absolutamente para todos os valores de x para os quais x − a < R , e diverge para todos os valores de x para os quais x − a > R.

Nota: No teorema anterior, quando se verifica (i) tem-se R = 0 e quando se verifica (ii) tem-se R = +∞ .

Definição 1.3: Chama-se intervalo de convergência da série de potências ao conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge.

Nota: Para estudar a convergência de uma série de potências, podemos aplicar o critério de Cauchy ou de D’Alembert a série dos módulos.

Exemplo 1.4: Determine o intervalo de convergência da série de

(− 1)n x 2 n . potências ∑ n = 0 (2n )!
+∞

Vamos agora ver duas regras para o cálculo do raio de convergência de uma série de potência de termos não nulos.

2

Teorema 1.5: O raio de convergência de uma série de potências
+∞

da forma

∑ an (x − a )n

é dado por

n=0

R = lim

n→+∞

an
, desde que o limite existe ou seja igual à + ∞ ; an+1 ou R = lim

n→+∞ n

1
, desde que o limite existe ou seja igual à + ∞ .