Lagrange

Equações de Lagrange
●

Até agora foi visto que as equações de movimento de um sistema podem ser obtidas através:
– –

da segunda Lei de Newton Princípio de D'Alembert

●

Uma outra forma de se obter estas equações é através das equações de Lagrange, cujo princípio básico é o princípio de Hamilton:
–

“De todos os caminhos possíveis que um sistema dinâmico pode seguir de um ponto para outro em um determinado intervalo de tempo, o caminho percorrido é o que minimiza a integral de tempo do lagrangiano (diferença entre a energia cinética e potencial).”
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: [e-mail] 1

Equações de Lagrange
●

Para sistemas conservativos, as equações de movimento são obtidas usando a equação de Euler Lagrange: d ∂L ∂L
–

dt ∂ x i ∂ x i ˙ onde L é o lagrangiano (L = Ec_res – Ep_res). Ec_res é a soma de toda a energia cinética do sistema, Ep_res, a soma da energia potencial, e x i são as coordenadas envolvidas no sistema.

−

=0

●

Para sistemas não conservativos, é incluído a força dissipativa e/ou força externa da variável i. d ∂L ∂L − =Q i dt ∂ x i ∂ x i ˙
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: [e-mail] 2

Equações de Lagrange
●

Exemplo 1: Encontre as equações de movimento do sistema abaixo usando as equações de Lagrange.
1 E k = k x2 2 res O lagrangeano para este problema é: A equação de movimento para este problema pode em função de x ou θ res translação rotação

L= E c −E k res res

3 2 1 L= m x − k x 2 ˙ 4 2

Q é nulo pois não existe força externa ou dissipativa neste sistema.

E c =Ec Ec d ∂L ∂L − =0 1 2 1 2 dt ∂ x ∂ x ˙ ˙ Ec = m x  J  ˙ 2 2 d ∂L 3 2 = mx ¨ 1 2 1 1 2 x ˙ dt ∂ x 2 2k x ˙ Ec = m x  mr ˙ x =0 ¨ 2 22 r ∂L 3m 3 2 =−kx Ec = m x ˙ ∂x 4 Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: [e-mail] res res



res

3

Transformadores Mecânicos
●

Exemplo 2: Encontre a equação de movimento do sistema abaixo. Quando y = 0 e F1 = 0, o